Um estudante faz uma prova de 4 questões, cada uma do tipo verdadeiro ou falso. Assuma que ele chute as respostas em cada questão. Defina: X1= número de acertos nas 2 primeiras questões; X2= número de acertos nas 2 últimas questões.
Obtenha a função de probabilidade conjunta de (X1, X2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade. O estudante fez uma prova com 4 questões de verdadeiro ou falso e chutou todas as respostas. Queremos descobrir a função de probabilidade conjunta de dois eventos:
  • $ X_{1} $: número de acertos nas 2 primeiras questões.
  • $ X_{2} $: número de acertos nas 2 últimas questões.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade binomial e como calcular probabilidades para eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em cada questão. Como são de verdadeiro ou falso e o estudante está chutando, a chance de acertar cada questão é de 50%, ou seja, $ p = 0.5 $.
Vamos analisar $ X_{1} $ e $ X_{2} $ separadamente usando a distribuição binomial, que é ótima para contar o número de sucessos (neste caso, acertos) em um certo número de tentativas.
Para $ X_{1} $ (as 2 primeiras questões):
  • Número de tentativas: $ n = 2 $
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa: $ p = 0.5 $
A fórmula da distribuição binomial é:
p = 0.5
Onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Aplicando para $ X_{1} $:
X1
O mesmo vale para $ X_{2} $.

Passo 3

Agora, como as primeiras 2 questões ($ X_{1} X1 úõ X_{2} $) são independentes (já que não compartilham nenhuma questão), a probabilidade conjunta de $ X_{1} = k $ e $ X_{2} = m $ é simplesmente o produto das probabilidades individuais.
Então:
X2
X1 = k

Passo 4

Vamos calcular isso para todos os valores possíveis de $ k $ e $ m $, que são 0, 1 e 2.
Primeiro, os coeficientes binomiais:
k
Agora, vamos montar a tabela com todas as combinações possíveis de $ X_{1} $ e $ X_{2} $.

Resposta

A função de probabilidade conjunta $ f(X_{1}, X_{2}) $ é dada pela tabela abaixo:
f(X1, X2)
Simplificando as frações:
c|ccc X1 backslash X2 & 0 & 1 & 2 hline 0 & 1 times 116 = 116 & 1 times 216 = 216 & 1 times 116 = 116 1 & 2 times 116 = 216 & 2 times 216 = 416 & 2 times 116 = 216 2 & 1 times 116 = 116 & 1 times 216 = 216 & 1 times 116 = 116
Ou, em forma decimal:
c|ccc X1 backslash X2 & 0 & 1 & 2 hline 0 & 116 & 216 & 116 1 & 216 & 416 & 216 2 & 116 & 216 & 116
Então, essa tabela mostra todas as probabilidades conjuntas para $ X_{1} $ e $ X_{2} $.

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