Suponha um dado onde uma face tem o número 1, duas faces têm o número 2 e três faces o número 3. Suponha o experimento de lançar duas vezes esse dado e observar o número na face superior.
Encontre a função de probabilidade conjunta do vetor aleatório (X, Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um dado especial que tem 1 face com o número 1, 2 faces com o número 2 e 3 faces com o número 3. A gente vai lançar esse dado duas vezes e observar os números que saem nas faces superiores, representados por $ X $ e $ Y $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidade conjunta desse vetor aleatório $ (X, Y) $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade e como calcular probabilidades de eventos combinados.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar todas as possíveis saídas para cada lançamento do dado. Como o dado tem 1 face com 1, 2 faces com 2 e 3 faces com 3, temos que ao lançar o dado uma vez, os possíveis resultados para $ X $ ou $ Y $ são 1, 2 e 3.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada número aparecer em um único lançamento.
  • Probabilidade de sair 1 ($ P(X=1) $):
    Como há 1 face com o número 1 em um total de 6 faces, a probabilidade é:
    P(X=1)
  • Probabilidade de sair 2 ($ P(X=2) $):
    Há 2 faces com o número 2, então:
    P(X=1) = 16
  • Probabilidade de sair 3 ($ P(X=3) $):
    E tem 3 faces com o número 3:
    P(X=2)
Como os dois lançamentos são independentes, a probabilidade de cada combinação $ (X, Y) $ é o produto das probabilidades individuais.

Passo 4

Vamos montar a tabela de todas as combinações possíveis de $ X $ e $ Y $ com suas respectivas probabilidades.
$ X $ $ Y $ $ P(X,Y) $
1 1 $ \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $
1 2 $ \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18} $
1 3 $ \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} $
2 1 $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18} $
2 2 $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $
2 3 $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $
3 1 $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} $
3 2 $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $
3 3 $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $

Resposta

A função de probabilidade conjunta do vetor aleatório $ (X, Y) $ é dada pela tabela abaixo:
$ X $ $ Y $ $ P(X,Y) $
1 1 $ \frac{1}{36} $
1 2 $ \frac{1}{18} $
1 3 $ \frac{1}{12} $
2 1 $ \frac{1}{18} $
2 2 $ \frac{1}{9} $
2 3 $ \frac{1}{6} $
3 1 $ \frac{1}{12} $
3 2 $ \frac{1}{6} $
3 3 $ \frac{1}{4} $
Essa tabela mostra todas as combinações possíveis dos resultados dos dois lançamentos e suas respectivas probabilidades.

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