Suponha um dado onde uma face tem o número 1, duas faces têm o número 2 e três faces o número 3. Suponha o experimento de lançar duas vezes esse dado e observar o número na face superior.
Encontre a função de probabilidade conjunta do vetor aleatório
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Encontre a função de probabilidade conjunta do vetor aleatório
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um dado especial que tem 1 face com o número 1, 2 faces com o número 2 e 3 faces com o número 3. A gente vai lançar esse dado duas vezes e observar os números que saem nas faces superiores, representados por $ X $ e $ Y $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidade conjunta desse vetor aleatório $ (X, Y) $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade e como calcular probabilidades de eventos combinados.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar todas as possíveis saídas para cada lançamento do dado. Como o dado tem 1 face com 1, 2 faces com 2 e 3 faces com 3, temos que ao lançar o dado uma vez, os possíveis resultados para $ X $ ou $ Y $ são 1, 2 e 3.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada número aparecer em um único lançamento.
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Probabilidade de sair 1 ($ P(X=1) $):Como há 1 face com o número 1 em um total de 6 faces, a probabilidade é:
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Probabilidade de sair 2 ($ P(X=2) $):Há 2 faces com o número 2, então:
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Probabilidade de sair 3 ($ P(X=3) $):E tem 3 faces com o número 3:
Como os dois lançamentos são independentes, a probabilidade de cada combinação $ (X, Y) $ é o produto das probabilidades individuais.
Passo 4
Vamos montar a tabela de todas as combinações possíveis de $ X $ e $ Y $ com suas respectivas probabilidades.
$ X $ | $ Y $ | $ P(X,Y) $ |
---|---|---|
1 | 1 | $ \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} $ |
1 | 2 | $ \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{18} $ |
1 | 3 | $ \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} $ |
2 | 1 | $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18} $ |
2 | 2 | $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $ |
2 | 3 | $ \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $ |
3 | 1 | $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} $ |
3 | 2 | $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $ |
3 | 3 | $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $ |
Resposta
A função de probabilidade conjunta do vetor aleatório $ (X, Y) $ é dada pela tabela abaixo:
$ X $ | $ Y $ | $ P(X,Y) $ |
---|---|---|
1 | 1 | $ \frac{1}{36} $ |
1 | 2 | $ \frac{1}{18} $ |
1 | 3 | $ \frac{1}{12} $ |
2 | 1 | $ \frac{1}{18} $ |
2 | 2 | $ \frac{1}{9} $ |
2 | 3 | $ \frac{1}{6} $ |
3 | 1 | $ \frac{1}{12} $ |
3 | 2 | $ \frac{1}{6} $ |
3 | 3 | $ \frac{1}{4} $ |
Essa tabela mostra todas as combinações possíveis dos resultados dos dois lançamentos e suas respectivas probabilidades.