Um estudante, nas horas de folga, trabalhou em uma transportadora. Durante 30 dias ele registrou as saídas, anotando os quilômetros percorridos com o transporte de mercadorias:
8,09 9,11 17,81 12,35 3,67 14,80 8,80 11,86 7,77 8,45
12,43 10,78 13,49 11,60 13,52 7,47 4,51 14,31 7,54 3,25
10,63 6,40 10,33 8,16 7,20 6,17 12,01 16,20 11,45 8,77
a) Construa um IC 90 \% para a quilometragem média percorrida pelo rapaz.
b) No final do mês o estudante ficou satisfeito com o que recebeu, só se lamentando não ter mais tempo disponível e conseguir maior quilometragem por dia. Suponha que ele tivesse percorrido o dobro da distância em cada dia. Neste caso, de que forma o intervalo de confiança é afetado?

Passo 1

O enunciado traz as distâncias diárias (em km) percorridas por um estudante em 30 dias e pede um intervalo de confiança de 90 % para a quilometragem média diária. Como não sabemos a variância populacional, vamos usar o t de Student com n-1=29 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x. Somando os 30 valores obtemos
\sum_{i=1}^{30} x_i = 298{,}93
logo
\bar x = \frac{1}{30}\sum_{i=1}^{30} x_i = \frac{298{,}93}{30}\approx 9{,}9643\text{ km.}

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s. Primeiro a soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{30} x_i^2 \approx 3351{,}2484.
Então a variância amostral
s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\,\bar x^2}{n-1} = \frac{3351{,}2484 - 30\cdot(9{,}9643)^2}{29}\approx 12{,}846
e assim
s = \sqrt{12{,}846}\approx 3{,}585\text{ km.}

Passo 4

O valor crítico para 90 % com 29 gl é t_{0{,}95,29}\approx 1{,}699. A margem de erro é
E = t_{0{,}95,29}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 1{,}699\;\frac{3{,}585}{\sqrt{30}} \approx 1{,}112.
Logo o intervalo de confiança de 90 % é
\bigl[\bar x - E,\;\bar x + E\bigr] \approx [9{,}9643 - 1{,}112,\;9{,}9643 + 1{,}112] = [8{,}852,\;11{,}076]\text{ km.}

Passo 5

Se dobrássemos cada distância x_i\to 2x_i, a nova média seria 2\bar x e o novo desvio 2s. Portanto o intervalo se multiplica por 2, ficando
[2\cdot 8{,}852,\;2\cdot 11{,}076] =[17{,}704,\;22{,}152]\text{ km.}

Resposta

O intervalo de confiança de 90 % para a quilometragem média diária é aproximadamente
[8{,}852,\;11{,}076]\text{ km}.
Se as distâncias fossem dobradas, o intervalo também dobraria, passando a
[17{,}704,\;22{,}152]\text{ km}.

Exercícios relacionados