Numa indústria de autopeças, sabe-se que o nível de dureza de um produto feito a base de cerâmica tem variabilidade \sigma^{2}=0,64. Numa amostra de 16 peças foram observados os seguintes valores:
\begin{array}{llllllllllllllll} 17,5 & 18,4 & 18,2 & 17,9 & 17,5 & 18,1 & 17,5 & 17,4 & 17,9 & 19,4 & 17,1 & 18,5 & 17,4 & 18,0 & 19,2 & 18,6 \end{array}
a) Construir IC 95% manualmente e pelos softwares R. Compare os resultados.
b) O gerente de produção deseja que o tamanho do IC seja reduzido pela metade. De quando será o novo nível de confiança mantendo-se inalterados a variância e o tamanho da amostra?
c) Vendo que a opção acima não é muito boa, o gerente decidiu melhorar a precisão de seu intervalo aumentando o tamanho da amostra. De quanto deve ser o novo tamanho de amostra para que o tamanho do IC caia pela metade?
d) O técnico da empresa informa ao gerente que a produção pode ser melhorada diminuindo-se a variabilidade do processo. De quando deve ser diminuída a variabilidade para que o tamanho do intervalo seja reduzido pela metade?

Passo 1

O enunciado trata de construir intervalos de confiança (IC) para a média \mu de um processo com variância conhecida \sigma^2=0,64 (logo \sigma=0,8), usando uma amostra de tamanho n=16 cujos valores são:
17,5,\;18,4,\;18,2,\;17,9,\;17,5,\;18,1,\;17,5,\;17,4,\;17,9,\;19,4,\;17,1,\;18,5,\;17,4,\;18,0,\;19,2,\;18,6.
Pedem-se:
a) IC de 95 % manual e em R;
b) nível de confiança que reduz à metade o tamanho do IC mantendo n e \sigma^2;
c) novo n para reduzir à metade o tamanho do IC mantendo 95 %;
d) nova variância para cortar à metade o tamanho do IC mantendo 95 % e n.
Para resolver, usaremos a fórmula do IC para média com variância conhecida:
\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt n}.

Passo 2

Calcular a média amostral e o IC de 95 % manualmente:
\bar X = \frac{1}{16}\sum_{i=1}^{16} x_i = \frac{288,6}{16} =18,0375.
Para 95 %, z_{0,025}=1,96. O erro máximo é
E = 1,96\;\frac{0,8}{\sqrt{16}} =1,96\times0,2 =0,392.
Logo, o IC95 % é
\bigl[\,18,0375-0,392,\;18,0375+0,392\bigr] =\bigl[17,6455,\;18,4295\bigr].
Em R, usando
\texttt{mean(data)}\to18.0375,\quad \texttt{qnorm(c(0.025,0.975))}*0.8/\sqrt{16}
produz exatamente [17,6455,\;18,4295].

Passo 3

Para reduzir à metade o tamanho do IC mantendo n e \sigma fixos, queremos
E_{\text{novo}} = \frac{E}{2}.
Como E_{\text{novo}} = z_{\text{novo}}\frac{\sigma}{\sqrt n} e E = 1,96\frac{\sigma}{\sqrt n}, segue
z_{\text{novo}} = \frac{1,96}{2}=0,98.
O nível de confiança correspondente é
\text{CL} = 2\Phi(0,98)-1\approx2\cdot0,8365-1=0,6730,
ou seja, cerca de 67,30 %.

Passo 4

Para reduzir à metade o tamanho do IC mantendo o nível de confiança 95 % z=1,96 e \sigma fixos, queremos
1,96\;\frac{\sigma}{\sqrt{n_{\text{novo}}}} =\frac{1,96\,\sigma}{\sqrt n}\times\frac12.
Isso dá
\frac1{\sqrt{n_{\text{novo}}}}=\frac1{2\sqrt n} \quad\Longrightarrow\quad n_{\text{novo}}=4n=4\times16=64.
Logo, é preciso amostrar 64 peças.

Passo 5

Para reduzir à metade o tamanho do IC mantendo 95 % e n=16 fixos, variando agora \sigma, queremos
1,96\;\frac{\sigma_{\text{novo}}}{\sqrt{16}} =\frac{1,96\,\sigma}{\sqrt{16}}\times\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \sigma_{\text{novo}}=\frac{\sigma}{2}=0,4.
Assim, a nova variância deve ser
\sigma_{\text{novo}}^{2}=(0,4)^{2}=0,16.

Resposta

a) IC 95 % = [17,6455,\;18,4295] manual e em R coincidem.
b) Novo nível de confiança \approx 67,30 %.
c) Novo tamanho de amostra n=64.
d) Nova variância \sigma^{2}=0,16.

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