Na produção de ovos de galinha, sabe-se que o nível de colesterol contido na gema pode ser controlado com a adição de certas drogas na alimentação das aves. O biólogo contratado pela granja deseja comparar o efeito de duas drogas diferentes sobre o colesterol das gemas. Dado os resultados:
The SAS System 16:00 Wednesday, February 01, 2023 1
Variável N Média D.Padrão Mínimo Máximo
Droga A 16 194,19 4,96 185,00 208,00
Droga B 20 205,45 5,62 196,00 220,00
Construa IC’s 95 \% para a diferença entre as médias dos níveis de colesterol com a adição das drogas A e B na dieta das aves considerando variâncias iguais e diferentes.

Passo 1

O enunciado nos dá duas amostras independentes, com \displaystyle n_{A}=16, \bar x_{A}=194,19, s_{A}=4,96 para a Droga A
e \displaystyle n_{B}=20, \bar x_{B}=205,45, s_{B}=5,62 para a Droga B.
Queremos construir intervalos de confiança de 95\% para \mu_{A}-\mu_{B} supondo (a) variâncias iguais e (b) variâncias diferentes. Vamos usar a teoria de IC para diferença de médias.

Passo 2

Intervalo de confiança supondo variâncias iguais.
  1. Calculamos a variância agrupada
s_{p}^{2} =\frac{(n_{A}-1)s_{A}^{2}+(n_{B}-1)s_{B}^{2}}{n_{A}+n_{B}-2} =\frac{15\cdot(4,96)^{2}+19\cdot(5,62)^{2}}{34}\approx28,504
  1. O desvio padrão agrupado é
s_{p}=\sqrt{28,504}\approx5,338
  1. Os graus de liberdade são n_{A}+n_{B}-2=34.
    O valor crítico é t_{0,975;34}\approx2,032.
  2. A margem de erro é
E_{eq} = t_{0,975;34}\,s_{p}\,\sqrt{\frac{1}{n_{A}}+\frac{1}{n_{B}}} =2,032\cdot5,338\cdot\sqrt{0,0625+0,05}\approx3,64
  1. A diferença de médias amostral é \bar x_{A}-\bar x_{B}=194,19-205,45=-11,26.
    Logo o IC 95\% com variâncias iguais é
-11,26\pm3,64 \quad\Longrightarrow\quad [-14,90,\;-7,62].

Passo 3

Intervalo de confiança supondo variâncias diferentes (Welch).
  1. Calculamos \displaystyle S^{2}=\frac{s_{A}^{2}}{n_{A}}+\frac{s_{B}^{2}}{n_{B}} = \frac{(4,96)^{2}}{16} + \frac{(5,62)^{2}}{20} \approx1,5376+1,5792=3,1168.
  2. Os graus de liberdade aproximados pelo Welch são
\nu\approx \frac{\bigl(S^{2}\bigr)^{2}} {\frac{(s_{A}^{2}/n_{A})^{2}}{n_{A}-1}+\frac{(s_{B}^{2}/n_{B})^{2}}{n_{B}-1}} \approx33{,}6
e t_{0,975;33{,}6}\approx2,032.
3. A margem de erro é
E_{uneq} = t_{0,975;\nu}\,\sqrt{S^{2}} =2,032\cdot\sqrt{3,1168}\approx3,59.
  1. Assim, o IC 95\% com variâncias diferentes é
-11,26\pm3,59 \quad\Longrightarrow\quad [-14,85,\;-7,67].

Resposta

IC 95\% para \mu_{A}-\mu_{B}
(a) variâncias iguais: [-14,90,\;-7,62]
(b) variâncias diferentes: [-14,85,\;-7,67]

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