Um estudante resolve um teste de múltipla escolha de 10 questões, com 5 alternativas por questão. Ele sabe 60 % da matéria do teste. Quando ele sabe uma questão, ele acerta, e, quando não sabe, escolhe a resposta ao acaso. Se ele acerta uma questão, qual é a probabilidade de que tenha sido por acaso?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um estudante que tá fazendo um teste de múltipla escolha com 10 questões, cada uma com 5 alternativas. Ele sabe 60% da matéria do teste. Quando ele sabe a resposta de uma questão, ele acerta na hora. Mas se ele não sabe, ele simplesmente escolhe uma das alternativas de forma aleatória. A pergunta é: Se ele acertar uma questão, qual é a probabilidade de que ele tenha acertado por acaso?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os eventos importantes:
  • $ K $: O estudante sabe a resposta da questão.
  • $ A $: O estudante acerta a resposta da questão.
Queremos encontrar a probabilidade de ele ter acertado por acaso, ou seja, $ P(\neg K | A) K \neg K $ significa que ele não sabe a resposta.

Passo 3

Vamos determinar as probabilidades que já conhecemos:
  1. Probabilidade de ele saber a resposta ($ P(K) $):
    Ele sabe 60% da matéria, então:
    P(K)
  2. Probabilidade de ele não saber a resposta ($ P(\neg K) $):
    Como ele ou sabe ou não sabe, a probabilidade de não saber é:
    P(K) = 0,6
  3. Probabilidade de acertar sabendo a resposta ($ P(A|K) $):
    Se ele sabe a resposta, ele acerta, então:
    P(neg K)
  4. Probabilidade de acertar sem saber a resposta ($ P(A|\neg K) $):
    Se ele não sabe, ele escolhe uma das 5 alternativas de forma aleatória. Portanto, a chance de acertar é 1 em 5:
    P(neg K) = 1 - P(K) = 1 - 0,6 = 0,4

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade total de acertar uma questão ($ P(A) $). Isso leva em conta as duas maneiras de acertar:
  1. Acertar sabendo a resposta.
  2. Acertar por acaso sem saber a resposta.
Usamos a Regra da Probabilidade Total:
P(A)
Substituindo os valores:
P(A) = P(A|K) cdot P(K) + P(A|neg K) cdot P(neg K)
Então, a probabilidade de ele acertar qualquer questão é 68%.

Passo 5

Agora, queremos descobrir $ P(\neg K | A) $, que é a probabilidade de que ele não soubesse a resposta, dado que ele acertou.
Usamos o Teorema de Bayes:
P(neg K | A)
Substituindo os valores que já calculamos:
P(neg K | A) = P(A|neg K) cdot P(neg K)P(A)
Convertendo para porcentagem:
P(neg K | A) = 0,2 cdot 0,40,68 = 0,080,68 approx 0,1176

Resposta

A probabilidade de que o estudante tenha acertado uma questão por acaso é de aproximadamente 11,76%.

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