Um estudante utilizou dois instrumentos distintos para fazer a medição do diâmetro de uma esfera. O primeiro instrumento tinha uma incerteza associada de 2 \mu \mathrm{~m} enquanto o outro tinha uma incerteza de 10 \mu \mathrm{~m}. Qual a relação (ou razão) entre as incertezas dos volumes calculados com os diâmetros obtidos, considerando somente a incerteza do instrumento? Ao fazer a média ponderada, qual o peso de cada valor na média final e porquê?
Passo 1
Resumindo o enunciado: medimos o diâmetro de uma esfera com dois instrumentos cujas incertezas são \sigma_{D1}=2\\ \mu\mathrm{m} e \sigma_{D2}=10\\ \mu\mathrm{m}. Queremos (a) a razão entre as incertezas dos volumes calculados a partir desses diâmetros e (b) os pesos na média ponderada considerando só as incertezas dos instrumentos. O conteúdo envolve propagação de incerteza em função de D e média ponderada por inverso de variância.
Passo 2
Para propagar a incerteza do diâmetro D para o volume
Ou seja, o primeiro valor tem peso de aproximadamente 96{,}15\% e o segundo 3{,}85\%. Isso ocorre porque a média ponderada dá mais peso à medição de menor incerteza (menor variância).
Resposta
A razão entre as incertezas dos volumes é \displaystyle\frac{\sigma_{V1}}{\sigma_{V2}} = \tfrac{1}{5}.
Na média ponderada, os pesos são
w_1\approx0{,}9615,\quad w_2\approx0{,}0385,
pois escolhemos w_i\propto1/\sigma_i^2, dando muito mais peso ao instrumento mais preciso.