Um estudante utilizou dois instrumentos distintos para fazer a medição do diâmetro de uma esfera. O primeiro instrumento tinha uma incerteza associada de 2 \mu \mathrm{~m} enquanto o outro tinha uma incerteza de 10 \mu \mathrm{~m}. Qual a relação (ou razão) entre as incertezas dos volumes calculados com os diâmetros obtidos, considerando somente a incerteza do instrumento? Ao fazer a média ponderada, qual o peso de cada valor na média final e porquê?

Passo 1

Resumindo o enunciado: medimos o diâmetro de uma esfera com dois instrumentos cujas incertezas são \sigma_{D1}=2\\ \mu\mathrm{m} e \sigma_{D2}=10\\ \mu\mathrm{m}. Queremos (a) a razão entre as incertezas dos volumes calculados a partir desses diâmetros e (b) os pesos na média ponderada considerando só as incertezas dos instrumentos. O conteúdo envolve propagação de incerteza em função de D e média ponderada por inverso de variância.

Passo 2

Para propagar a incerteza do diâmetro D para o volume
V = \frac{\pi}{6}D^3
usamos a aproximação de primeira ordem
\sigma_V \approx \left|\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}D}\right|\,\sigma_D.
Como
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}D} = \frac{\pi}{2}D^2,
temos
\sigma_V = \frac{\pi}{2}\,D^2\,\sigma_D.

Passo 3

Para dois instrumentos medindo quase o mesmo D, o fator \frac{\pi}{2}D^2 se cancela ao formar a razão das incertezas de volume:
\frac{\sigma_{V1}}{\sigma_{V2}} =\frac{\frac{\pi}{2}D^2\,\sigma_{D1}}{\frac{\pi}{2}D^2\,\sigma_{D2}} =\frac{\sigma_{D1}}{\sigma_{D2}} =\frac{2}{10} =\frac{1}{5}.

Passo 4

Na média ponderada de duas medições x_1 e x_2 com incertezas \sigma_1 e \sigma_2, os pesos ótimos são inversamente proporcionais às variâncias:
w_i = \frac{1/\sigma_i^2}{1/\sigma_1^2 + 1/\sigma_2^2}.
Aqui usamos \sigma_i iguais à incerteza do volume ou do diâmetro (a constante de propagação não altera a razão dos pesos).

Passo 5

Substituindo \sigma_1=2 e \sigma_2=10 (em \mum ou unidades proporcionais),
w_1 =\frac{1/2^2}{1/2^2 + 1/10^2} =\frac{1/4}{1/4 + 1/100} =\frac{0,25}{0,26} \approx0,9615,
w_2 =1 - w_1 \approx0,0385.
Ou seja, o primeiro valor tem peso de aproximadamente 96{,}15\% e o segundo 3{,}85\%. Isso ocorre porque a média ponderada dá mais peso à medição de menor incerteza (menor variância).

Resposta

A razão entre as incertezas dos volumes é \displaystyle\frac{\sigma_{V1}}{\sigma_{V2}} = \tfrac{1}{5}.
Na média ponderada, os pesos são
w_1\approx0{,}9615,\quad w_2\approx0{,}0385,
pois escolhemos w_i\propto1/\sigma_i^2, dando muito mais peso ao instrumento mais preciso.

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