Um lançador de foguetes tem uma incerteza associada ao lançamento de 2 \%. Considerando que o projétil foi lançado com um ângulo de 30^{\circ} em relação à horizontal e que o alvo está 2 km do lançador e que a única aceleração, após o lançamento é a aceleração gravitacional, sendo desprezíveis as demais, determine a distância mínima e máxima à posição do alvo que o foguete pode atingir o solo, considerando que a probabilidade associada ao percentual acima é de ( 65,28 \%).

Passo 1

O enunciado descreve um projétil lançado a um ângulo de \,30^\circ em relação à horizontal, sob ação somente da gravidade, de modo que seu alcance (distância horizontal até atingir o solo) seja
R=\frac{v^2\sin(2\theta)}{g}\,.
Queremos que o alcance nominal R_0 seja 2\,\text{km}, mas a velocidade inicial v tem incerteza de \pm2\% (com probabilidade de 65{,}28\% de cair nesse intervalo). Precisamos achar a distância mínima e máxima ao alvo que o projétil pode cair, dadas essas variações em v.

Passo 2

Para que o alcance nominal seja R_0=2000\,\text{m} a partir de \theta=30^\circ e g=9{,}8\,\text{m/s}^2, a velocidade nominal v_0 satisfaz
v_0 = \sqrt{\frac{R_0\,g}{\sin(2\cdot30^\circ)}} =\sqrt{\frac{2000\cdot9{,}8}{\sin(60^\circ)}}\,.
Não precisamos do valor exato de v_0 para estimar o efeito percentual no alcance, pois R\propto v^2.

Passo 3

Como a incerteza em v é \pm2\%, definimos
v_{\min}=v_0(1-0.02)=0{,}98\,v_0, \quad v_{\max}=v_0(1+0.02)=1{,}02\,v_0.
Logo o alcance mínimo e máximo serão
R_{\min} = \frac{v_{\min}^2\sin(60^\circ)}{g} = (0{,}98)^2\,R_0 \approx 0{,}9604\,R_0,
R_{\max} = \frac{v_{\max}^2\sin(60^\circ)}{g} = (1{,}02)^2\,R_0 \approx 1{,}0404\,R_0.

Passo 4

Substituindo R_0=2000\,\text{m}:
R_{\min}\approx0{,}9604\times2000=1920{,}8\text{ m}, \quad R_{\max}\approx1{,}0404\times2000=2080{,}8\text{ m}.
A diferença entre essas posições de impacto e o alvo (em 2000\,\text{m}) é
\Delta_{\min}=2000-1920{,}8\approx79{,}2\text{ m}, \quad \Delta_{\max}=2080{,}8-2000\approx80{,}8\text{ m}.

Resposta

A distância mínima ao alvo é cerca de 79{,}2 m (queda antes do alvo) e a máxima é cerca de 80{,}8 m (além do alvo).

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