Estudar a continuidade da função:
f(x, y)=ccc e^-(x^2+y^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrace^-l(x^2+y^2r)x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[1em] 0,&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo é “continuidade de funções de duas variáveis”. Vamos verificar (a) os pontos (x,y)neq(0,0) e (b) o ponto crítico (0,0).]

Passo 2

Se (x0,y0)neq(0,0), então x0^2+y0^2neq0 e
,e^-(x^2+y^2) e (x^2+y^2) são funções contínuas. Logo a razão
dfrace^-(x^2+y^2)x^2+y^2 também é contínua em torno de (x0,y0). Portanto f é contínua em todo ponto distinto da origem.

Passo 3

Em (0,0), temos f(0,0)=0. Para ver se f é contínua ali, calculemos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, r>=0, fica
f(r,theta) =e^-r^2r^2
Assim
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =limrto0^+e^-r^2r^2 =10^+ =+infty
Esse limite não é igual a f(0,0)=0 (nem mesmo é finito), logo f é descontínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e é descontínua no ponto (0,0).

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