Estudar a continuidade da função:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade da função
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Como todo ponto fora da origem tem denominador não nulo, só precisamos verificar se
para decidir se a função é contínua na origem.]
Passo 2
Para
(x,y)neq(0,0) , cada termo
é contínuo, e composições e quocientes preservam continuidade quando o denominador não é zero. Logo
f é contínua em todo ponto diferente de
(0,0) .
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares:
x = rcostheta ,
y=rsintheta , com
r>0 . Então
e o termo principal vira
Por outro lado, usando a expansão
sen t = t - t^3/6 + o(t^3) em
t=rcostheta , temos
logo
Assim
Ficamos com
e o termo dominante
costheta - cos^2theta depende de
theta .
Passo 4
Para ver que o limite depende da direção, compare duas linhas:
1 . Na reta
y=0 (
theta=0 ) temos
costheta=1 , então
Como há direções que dão limites diferentes, o limite não existe em
(0,0) .
Resposta
A função
f é contínua em todo ponto
(x,y)neq(0,0) e não é contínua em
(0,0) , pois
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.