Estudar a continuidade da função:
f(x, y)=ccc x cos raizx^2+y^2raizx^2+y^2-sen^2 xx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x, y)= dfracx cosl(raizx^2+y^2r)raizx^2+y^2 -dfracsin^2xx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[1em] 0,& (x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Como todo ponto fora da origem tem denominador não nulo, só precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
para decidir se a função é contínua na origem.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), cada termo
xmapsto x, (x,y)mapstoraizx^2+y^2, cos(cdot), sen(cdot)
é contínuo, e composições e quocientes preservam continuidade quando o denominador não é zero. Logo f é contínua em todo ponto diferente de (0,0).

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares: x = rcostheta, y=rsintheta, com r>0. Então
raizx^2+y^2=r
e o termo principal vira
dfracx cos(r)r = costheta,cos r
Por outro lado, usando a expansão sen t = t - t^3/6 + o(t^3) em t=rcostheta, temos
sen^2(rcostheta) = r^2cos^2theta - tfrac13r^4cos^4theta + o(r^4),
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dfracsen^2(rcostheta)r^2 = cos^2theta - tfrac13r^2cos^4theta + o(r^2)
Assim
f(r,theta) = costheta,cos r ;-;cos^2theta ;+;tfrac13r^2cos^4theta + o(r^2)
Ficamos com
f(r,theta) = l[costheta - cos^2thetar] ;+;O(r^2),
e o termo dominante costheta - cos^2theta depende de theta.

Passo 4

Para ver que o limite depende da direção, compare duas linhas:
1. Na reta y=0 ( theta=0) temos costheta=1, então
limrto0f(r,0)=1-1=0
2. Na reta y=raiz3,x ( theta=pi/3) temos costheta=tfrac12, então
limrto0fl(r,tfracpi3r) =tfrac12 - tfrac14 = tfrac14neq0
Como há direções que dão limites diferentes, o limite não existe em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0) e não é contínua em (0,0), pois
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

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