Estudar a continuidade da função:
f(x, y)=ccc 4 x y^4(x^2+y^2)^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x,y)= dfrac4xy^4(x^2+y^2)^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Precisamos verificar dois casos: pontos (x,y)neq(0,0) e o ponto (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) , a expressão
4xy^4(x^2+y^2)^2
é quociente de polinômios com denominador diferente de zero, logo é contínua em todo ponto em que x^2+y^2neq0 . Portanto, f é contínua em todos os pontos fora da origem.

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0) . Precisamos checar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0.

Passo 4

Usamos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta,
com r>=0 e theta livre. Então
xy^4 = rcostheta,(rsintheta)^4 = r^5costheta,sin^4theta
e
(x^2+y^2)^2 = r^4
Logo, para (x,y)neq(0,0),
f(x,y) = 4,r^5costheta,sin^4thetar^4 =4,rcostheta,sin^4theta

Passo 5

Temos o majorante
l|f(x,y)r| = l|4,rcostheta,sin^4thetar| <=4,rcdot1cdot1 =4r
Como rto0 implica 4rto0, conclui-se que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0,
que é exatamente f(0,0). Logo, f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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