Estudar a continuidade da função:
f(x, y)=ccc x y^3x^2+y^6 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= x,y^3x^2+y^6, & (x,y)neq(0,0),[1em] 0, & (x,y)=(0,0),
e pede para estudar a continuidade de f em todo R^2. Vamos analisar separadamente os pontos (x,y)neq(0,0) e o ponto (0,0).]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então x^2+y^6>0 e
f(x,y)=x,y^3x^2+y^6
é quociente de funções polinomiais contínuas com denominador não-nulo. Logo, f é contínua em todo ponto de R^2setminus(0,0).

Passo 3

Estudamos o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) por duas trajetórias diferentes. Primeiro, seguindo a reta x=0, temos
f(0,y)=0cdot y^30+y^6=0,
logo limyto0f(0,y)=0.
Agora, seguindo a curva x=y^3, obtemos
f(y^3,y) =y^3cdot y^3(y^3)^2+y^6 =y^6y^6+y^6 =12,
logo limyto0f(y^3,y)=12.
Como esses dois limites são diferentes, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe.

Passo 4

Portanto, f não é contínua em (0,0), mas é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Resposta

f é contínua em R^2setminus(0,0) e descontínua em (0,0).

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