Estudar a continuidade da função:
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para estudar a continuidade de
f em todo
R^2 . Vamos analisar separadamente os pontos
(x,y)neq(0,0) e o ponto
(0,0) .]
Passo 2
Se
(x,y)neq(0,0) , então
x^2+y^6>0 e
é quociente de funções polinomiais contínuas com denominador não-nulo. Logo,
f é contínua em todo ponto de
R^2setminus(0,0) .
Passo 3
Estudamos o limite de
f(x,y) quando
(x,y)to(0,0) por duas trajetórias diferentes. Primeiro, seguindo a reta
x=0 , temos
logo
limyto0f(0,y)=0 .
Agora, seguindo a curvax=y^3 , obtemos
Agora, seguindo a curva
logo
limyto0f(y^3,y)=12 .
Como esses dois limites são diferentes, concluímos que
Como esses dois limites são diferentes, concluímos que
não existe.
Passo 4
Portanto,
f não é contínua em
(0,0) , mas é contínua em todo ponto
(x,y)neq(0,0) .