Estudar a continuidade da função:
f(x, y)=ccl 2 x y^2x^2+y^2 & se & 0<x^2+y^2<1 1 & se & x^2+y^2=1 x^2+y^2 & se & x^2+y^2>1 ou (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfrac2xy^2x^2+y^2,&0<x^2+y^2<1,[6pt] 1,&x^2+y^2=1,[3pt] x^2+y^2,&x^2+y^2>1 ou (x,y)=(0,0)
O objetivo é estudar a continuidade de f em cada ponto do plano, analisando quatro casos:
1) interior do disco unitário excluindo a origem,
2) o ponto (0,0),
3) fora do disco unitário,
4) na circunferência x^2+y^2=1.]

Passo 2

Para 0<x^2+y^2<1 temos
f(x,y)=2xy^2x^2+y^2,
que é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo, logo contínua nessa região.
Para x^2+y^2>1 (exceto (0,0))
f(x,y)=x^2+y^2,
que é polinomial e, portanto, contínua em todo o conjunto (x,y)mid x^2+y^2>1.

Passo 3

No ponto (0,0) está definido f(0,0)=0. Para verificar continuidade, calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
pela região 0<x^2+y^2<1. Em coordenadas polares (x,y)=(rcostheta,rsintheta) com 0<r<1,
f(r,theta) =2,(rcostheta),(rsintheta)^2r^2 =2rcosthetasin^2theta
Como 2rcosthetasin^2thetato0 quando rto0, temos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
logo f é contínua em (0,0).

Passo 4

Em qualquer ponto (x0,y0) com x0^2+y0^2=1, o valor é f(x0,y0)=1.
– Aproximando-se pelo lado de fora ( x^2+y^2>1), f(x,y)=x^2+y^2to1.
– Pelo lado de dentro ( 0<x^2+y^2<1), em polares rto1
f(r,theta)=2rcosthetasin^2theta;longrightarrow;2x0y0^2
Para haver continuidade precisaríamos
2x0y0^2=1 e x0^2+y0^2=1,
mas não existem soluções reais dessa dupla (o polinômio resultante não zera em R). Portanto os limites interno e externo não coincidem com f(x0,y0) em nenhum ponto da circunferência.

Resposta

A função f é contínua em todo R^2 exceto nos pontos da circunferência
(x,y)mid x^2+y^2=1,
onde f é descontínua.

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