f(x,y)= dfrac2xy^2x^2+y^2,&0<x^2+y^2<1,[6pt] 1,&x^2+y^2=1,[3pt] x^2+y^2,&x^2+y^2>1 ou (x,y)=(0,0)
O objetivo é estudar a continuidade de f em cada ponto do plano, analisando quatro casos: 1) interior do disco unitário excluindo a origem, 2) o ponto (0,0), 3) fora do disco unitário, 4) na circunferência x^2+y^2=1.]
Passo 2
Para 0<x^2+y^2<1 temos
f(x,y)=2xy^2x^2+y^2,
que é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo, logo contínua nessa região.
Para x^2+y^2>1 (exceto (0,0))
f(x,y)=x^2+y^2,
que é polinomial e, portanto, contínua em todo o conjunto (x,y)mid x^2+y^2>1.
Passo 3
No ponto (0,0) está definido f(0,0)=0. Para verificar continuidade, calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
pela região 0<x^2+y^2<1. Em coordenadas polares (x,y)=(rcostheta,rsintheta) com 0<r<1,
Em qualquer ponto (x0,y0) com x0^2+y0^2=1, o valor é f(x0,y0)=1.
– Aproximando-se pelo lado de fora (x^2+y^2>1), f(x,y)=x^2+y^2to1.
– Pelo lado de dentro (0<x^2+y^2<1), em polares rto1 dá
mas não existem soluções reais dessa dupla (o polinômio resultante não zera em R). Portanto os limites interno e externo não coincidem com f(x0,y0) em nenhum ponto da circunferência.
Resposta
A função f é contínua em todo R^2 exceto nos pontos da circunferência