Estudar a continuidade da função
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade da função
O conteúdo é análise de continuidade em pontos de
R^2 . Vamos verificar primeiro pontos fora da origem e depois a possível descontinuidade em
(0,0) .
Passo 2
Se
(x,y)neq(0,0) e
xneq0 , o denominador
x^4+x^2=x^2(x^2+1) é não nulo, então a expressão
é combinação de polinômios e funções racionais sem singularidade local. Logo
f é contínua em todos os pontos com
xneq0 .
Passo 3
Considere pontos
(0,y) com
yneq0 . A função para
xneq0 pode ser simplificada:
Ao levar
xto0 com
y fixo, obtemos
Mas
f(0,y)=0 pela definição. Logo
f também é contínua em todos os pontos
(0,y) ,
yneq0 .
Passo 4
Resta verificar a continuidade em
(0,0) . Para
(x,y)neq(0,0) podemos escrever
Então
Usando a desigualdade de Young
,|y|,|x|<=12(x^2+y^2) , obtemos
Como
(x,y)to(0,0) implica
x^2to0 e
y^2to0 , segue que
|f(x,y)|to0 . Portanto
mostrando continuidade em
(0,0) .
Resposta
A função
f é contínua em todo
R^2 .