Estudar a continuidade da função
f(x, y)=ccc x^2+y x^3x^4+x^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x,y)= x^2+dfracy,x^3x^4+x^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo é análise de continuidade em pontos de R^2. Vamos verificar primeiro pontos fora da origem e depois a possível descontinuidade em (0,0).

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0) e xneq0, o denominador x^4+x^2=x^2(x^2+1) é não nulo, então a expressão
x^2+y,x^3x^4+x^2
é combinação de polinômios e funções racionais sem singularidade local. Logo f é contínua em todos os pontos com xneq0.

Passo 3

Considere pontos (0,y) com yneq0. A função para xneq0 pode ser simplificada:
y,x^3x^4+x^2 =y,x^3x^2(x^2+1) =y,xx^2+1
Ao levar xto0 com y fixo, obtemos
x^2+y,xx^2+1;longrightarrow;0+0=0
Mas f(0,y)=0 pela definição. Logo f também é contínua em todos os pontos (0,y), yneq0.

Passo 4

Resta verificar a continuidade em (0,0). Para (x,y)neq(0,0) podemos escrever
f(x,y)=x^2+y,xx^2+1
Então
l|f(x,y)-0r| <= x^2+l|y,xx^2+1r| <= x^2+|y|,|x|
Usando a desigualdade de Young ,|y|,|x|<=12(x^2+y^2), obtemos
|f(x,y)|<= x^2+tfrac12(x^2+y^2) =tfrac32,x^2+tfrac12,y^2
Como (x,y)to(0,0) implica x^2to0 e y^2to0, segue que |f(x,y)|to0. Portanto
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
mostrando continuidade em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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