Verifique que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
pode ser escrita como uma série de potências em torno de zero, isto é, a série de Maclaurin. Para isso, vamos usar a definição geral de série de Taylor (no caso, Maclaurin) e o fato de que as derivadas de
se repetem ciclicamente.
Passo 2
A fórmula da série de Maclaurin de uma função
é
Logo, precisamos calcular
para
.
Passo 3
Calculemos as primeiras derivadas e seus valores em zero:
e a cada quatro derivadas o padrão se repete. Portanto,
sempre que
é par, e quando
é ímpar temos
Passo 4
Na série de Maclaurin apenas os termos com
(ímpares) contribuem, pois para
par
. Substituindo na fórmula: