Verifique que:
sen(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função sin(x) pode ser escrita como uma série de potências em torno de zero, isto é, a série de Maclaurin. Para isso, vamos usar a definição geral de série de Taylor (no caso, Maclaurin) e o fato de que as derivadas de sin(x) se repetem ciclicamente.

Passo 2

A fórmula da série de Maclaurin de uma função f é
f(x)=sumk=0^inftyf^(k)(0)k!,x^k
Logo, precisamos calcular f^(k)(0) para f(x)=sin(x).

Passo 3

Calculemos as primeiras derivadas e seus valores em zero:
f(x)&=sin(x), & f(0)&=0, f'(x)&=cos(x), & f'(0)&=1, f''(x)&=-sin(x), & f''(0)&=0, f^(3)(x)&=-cos(x), & f^(3)(0)&=-1, f^(4)(x)&=sin(x), & f^(4)(0)&=0,
e a cada quatro derivadas o padrão se repete. Portanto, f^(n)(0)=0 sempre que n é par, e quando n é ímpar temos
f^(2n+1)(0)=(-1)^n

Passo 4

Na série de Maclaurin apenas os termos com k=2n+1 (ímpares) contribuem, pois para k par f^(k)(0)=0. Substituindo na fórmula:
sin(x) =sumn=0^inftyf^(2n+1)(0)(2n+1)!,x^2n+1 =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,x^2n+1

Resposta

sin(x)=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+1(2n+1)!

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