O assunto é continuidade em R^2. Para isso, vamos analisar primeiro pontos fora da origem e depois o ponto (0,0).]
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) temos |x|+|y|>0, e x^2+y e |x|+|y| são funções contínuas. Logo, a quociente
dfracx^2+y|x|+|y|
é contínuo sempre que o denominador não se anula. Concluímos que f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Agora vamos ver se f é contínua em (0,0). Precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)x^2+y|x|+|y|
existe e é igual a f(0,0)=0.
Passo 4
Tentamos a aproximação ao longo do eixo x (tomando y=0). Então
f(x,0)=x^2+0|x|+0=x^2|x|=|x|xrightarrow[xto0]0
Nesse caminho o limite dá 0.
Passo 5
Agora aproximamos ao longo da reta y=x. Para xneq0
f(x,x)=x^2+x|x|+|x|=x(x+1)2|x| =x+12sgn(x)
Se xto0^+, isso tende a tfrac0+12= tfrac12. Se xto0^-, tende a -tfrac12. Em qualquer caso não dá 0. Mesmo só considerando xto0^+, o limite é tfrac12neq0.
Passo 6
Como encontramos caminhos de aproximação que dão limites diferentes (por exemplo 0 no eixo x e tfrac12 na reta y=x), o limite em (0,0) não existe. Portanto f não é contínua em (0,0).
Resposta
A função f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e não é contínua em (0,0).