e pede para estudar sua continuidade. Sabemos que fora de (0,0) cada parte é composição de funções contínuas (raízes e quociente com denominação não nula), então só precisamos analisar o limite em (0,0) e compará-lo com f(0,0)=2.]
Passo 2
Para investigar lim(x,y)to(0,0)f(x,y), usamos coordenadas polares definindo
r^2=x^2+y^2, r>0
Então a parte não trivial vira
f(r)=raiz16+15r^2-raiz16 - r^2r^2
Agora bastará calcular limrto0^+f(r).
Passo 3
Fazemos expansão em série de Taylor das raízes em torno de r=0. Para raiz16+u com u pequeno vale
Como lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=2 e f(0,0)=2, temos continuidade de f no ponto (0,0).
Fora de (0,0) a função é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, logo é contínua em todo (x,y)mid x^2+y^2>0. Também em cada ponto da fronteira x^2+y^2=16 o denominador é não nulo e as raízes são bem definidas. Portanto f é contínua em toda a região de seu domínio.
Resposta
A função f é contínua em todo o seu domínio (x,y)mid x^2+y^2<=16.