Estudar a continuidade da função
f(x, y)=cc raiz15 x^2+15 y^2+16-raiz16-x^2-y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 2 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracraiz15x^2+15y^2+16-raiz16 - x^2-y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[1em] 2,&(x,y)=(0,0),
e pede para estudar sua continuidade. Sabemos que fora de (0,0) cada parte é composição de funções contínuas (raízes e quociente com denominação não nula), então só precisamos analisar o limite em (0,0) e compará-lo com f(0,0)=2.]

Passo 2

Para investigar lim(x,y)to(0,0)f(x,y), usamos coordenadas polares definindo
r^2=x^2+y^2, r>0
Então a parte não trivial vira
f(r)=raiz16+15r^2-raiz16 - r^2r^2
Agora bastará calcular limrto0^+f(r).

Passo 3

Fazemos expansão em série de Taylor das raízes em torno de r=0. Para raiz16+u com u pequeno vale
raiz16+u=4 + u8+o(u),
e para raiz16-v com v pequeno vale
raiz16-v=4 - v8+o(v)
No nosso caso u=15r^2 e v=r^2. Logo
raiz16+15r^2=4+15r^28+o(r^2), raiz16 - r^2=4-r^28+o(r^2)
Subtraindo,
raiz16+15r^2-raiz16 - r^2 =l(4+tfrac15r^28r)-l(4-tfracr^28r)+o(r^2) =16,r^28+o(r^2) =2r^2+o(r^2)
Dividindo por r^2, obtemos
f(r)=2r^2+o(r^2)r^2=2+o(1),
portanto
limrto0^+f(r)=2

Passo 4

Como lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=2 e f(0,0)=2, temos continuidade de f no ponto (0,0).
Fora de (0,0) a função é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, logo é contínua em todo (x,y)mid x^2+y^2>0. Também em cada ponto da fronteira x^2+y^2=16 o denominador é não nulo e as raízes são bem definidas. Portanto f é contínua em toda a região de seu domínio.

Resposta

A função f é contínua em todo o seu domínio (x,y)mid x^2+y^2<=16.

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