Estudar a continuidade da função
f(x, y)=ccc y(x-3)4 y^2+(x-2)^2 & se & (x, y) neq(2,0) 2 & se & (x, y)=(2,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracy,(x-3)4y^2+(x-2)^2,&(x,y)neq(2,0), 2,&(x,y)=(2,0),
e pede para estudar sua continuidade. O conteúdo é análise de continuidade e limites em duas variáveis.

Passo 2

Se (x,y)neq(2,0), então o denominador
4y^2+(x-2)^2>0
e o numerador y(x-3) é polinomial. Logo, f é quociente de funções polinomiais sem zero no denominador, o que garante que f é contínua em R^2setminus(2,0).

Passo 3

Para testar a continuidade em (2,0), calculemos
lim(x,y)to(2,0)f(x,y)
Pelo caminho y=0, temos
f(x,0)=0cdot(x-3)4cdot0^2+(x-2)^2=0,
então ao aproximar (x,y)to(2,0) por y=0, obtemos
limxto2f(x,0)=0

Passo 4

Agora pelo caminho x=2,
f(2,y)=y,(2-3)4y^2+(2-2)^2 =-y4y^2 =-14y,
que diverge quando yto0. Portanto, o limite depende do caminho e nem mesmo é finito.

Passo 5

Como
lim(x,y)to(2,0)f(x,y)
não existe (dá valores distintos ou diverge conforme o caminho) e difere de f(2,0)=2, a função é descontínua em (2,0).

Resposta

A função f é contínua em R^2setminus(2,0) e é descontínua no ponto (2,0).

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