Estudar a continuidade da função
f(x, y)=cc x^2 sen(x^2+y^2)x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 1 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos estudar a continuidade de .]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), então x^2+y^2>0 e a função
(x,y)mapstodfracx^2,sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2
é quociente de funções contínuas com denominador não nulo. Logo, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para estudar a continuidade em (0,0), calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Usemos coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0
Então
x^2+y^2=r^2, x^2=r^2cos^2theta,
e
f(r,theta) =r^2cos^2theta;sin(r^2)r^2 =cos^2theta;sin(r^2)
Quando rto0, temos sin(r^2)to0 independentemente de theta. Portanto,
limrto0f(r,theta)=0
Isso mostra que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 4

Vimos que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0, mas f(0,0)=1. Como o valor dado na origem difere do limite, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em R^2setminus(0,0) e descontínua em (0,0).

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