Estudar a continuidade da função
Passo 1
O enunciado define a função
Queremos estudar a continuidade de .]
Passo 2
Se
(x,y)neq(0,0) , então
x^2+y^2>0 e a função
é quociente de funções contínuas com denominador não nulo. Logo,
f é contínua em todo ponto
(x,y)neq(0,0) .
Passo 3
Para estudar a continuidade em
(0,0) , calculamos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) . Usemos coordenadas polares
Então
e
Quando
rto0 , temos
sin(r^2)to0 independentemente de
theta . Portanto,
Isso mostra que
Passo 4
Vimos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 , mas
f(0,0)=1 . Como o valor dado na origem difere do limite,
f não é contínua em
(0,0) .
Resposta
A função
f é contínua em
R^2setminus(0,0) e descontínua em
(0,0) .