Estudar a continuidade da função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{2}+y^{2}}{\log \left(x^{2}+y^{2}\right)} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}+y^{2}}{\log\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)},& (x,y)\neq(0,0),\\[0.7em] 0,& (x,y)=(0,0). \end{cases}
O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis. Para resolver, precisamos verificar dois casos: em pontos distintos de (0,0) e no ponto (0,0) usando coordenadas polares ou argumentos de limite.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0 e \log(x^{2}+y^{2}) bem definida e não nula (pois \log é contínua e estritamente crescente). Como soma, produto e quociente de funções contínuas (em domínio onde o denominador não zera) são contínuos, concluímos que
f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\log(x^{2}+y^{2})}
é contínua em todo \R^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 3

Falta checar a continuidade em (0,0), ou seja, mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}+y^{2}}{\log(x^{2}+y^{2})}=0
já que f(0,0)=0. Para isso, use coordenadas polares: defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad r>0.
Então x^{2}+y^{2}=r^{2} e a expressão torna-se
\frac{r^{2}}{\log(r^{2})}.

Passo 4

Observe que \log(r^{2})=2\log r. Logo
\frac{r^{2}}{\log(r^{2})} =\frac{r^{2}}{2\log r}.
Quando r\to0^{+}, temos \log r\to-\infty e r^{2}\to0^{+}. Como o logaritmo diverge em módulo muito mais lento que r^{2} tende a zero, o quociente satisfaz
\lim_{r\to0^{+}}\frac{r^{2}}{\log(r^{2})} =0.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0),
e assim f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo \R^{2}.

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