O conteúdo aqui é continuidade de função de duas variáveis. Para resolver, precisamos verificar dois casos: em pontos distintos de (0,0) e no ponto (0,0) usando coordenadas polares ou argumentos de limite.]
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0 e \log(x^{2}+y^{2}) bem definida e não nula (pois \log é contínua e estritamente crescente). Como soma, produto e quociente de funções contínuas (em domínio onde o denominador não zera) são contínuos, concluímos que
f(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\log(x^{2}+y^{2})}
é contínua em todo \R^2\setminus\{(0,0)\}.
Passo 3
Falta checar a continuidade em (0,0), ou seja, mostrar que
já que f(0,0)=0. Para isso, use coordenadas polares: defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad r>0.
Então x^{2}+y^{2}=r^{2} e a expressão torna-se
\frac{r^{2}}{\log(r^{2})}.
Passo 4
Observe que \log(r^{2})=2\log r. Logo
\frac{r^{2}}{\log(r^{2})} =\frac{r^{2}}{2\log r}.
Quando r\to0^{+}, temos \log r\to-\infty e r^{2}\to0^{+}. Como o logaritmo diverge em módulo muito mais lento que r^{2} tende a zero, o quociente satisfaz