Seja f(x, y)=\frac{2(x-1)^{3} y}{(x-1)^{2}+y^{2}} definida para todo (x, y) \neq(1,0). É possível definir f(1,0) de forma que f seja contínua em \mathbb{R}^{2} ?
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{2(x-1)^{3}y}{(x-1)^{2}+y^{2}}
definida para (x,y)\neq(1,0), e pergunta se dá para atribuir um valor a f(1,0) de modo que f fique contínua em \mathbb{R}^2. Para isso, precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(1,0)}f(x,y)
e verificar se esse limite existe e é finito.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
u = x-1,\quad v = y,
de modo que (x,y)\to(1,0) equivale a (u,v)\to(0,0). Definimos
g(u,v)=f(u+1,v)=\frac{2u^{3}v}{u^{2}+v^{2}},
e então nosso objetivo é
\lim_{(u,v)\to(0,0)}g(u,v).
Passo 3
Para avaliar esse limite, usamos coordenadas polares em (u,v):
u = r\cos\theta,\quad v = r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta\in[0,2\pi). Substituindo em g, obtemos