Estudar a continuidade da função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{y^{2}}{x+3} & \text { se } & (x, y) \neq(-3,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(-3,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{y^{2}}{x+3},&\text{se }(x,y)\neq(-3,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(-3,0), \end{cases}
e pede para estudar a continuidade de f. O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis. Vamos primeiro identificar o domínio e depois verificar continuidade ponto a ponto.

Passo 2

Se x+3\neq0, a função
(x,y)\;\mapsto\; \frac{y^{2}}{x+3}
é quociente de polinômios com denominador diferente de zero, logo é contínua em todo ponto com x+3\neq0.

Passo 3

O domínio efetivo de f é
D=\{(x,y)\mid x+3\neq0\}\;\cup\;\{(-3,0)\}.
Em pontos de D com x+3\neq0 já garantimos continuidade. Não faz sentido falar de continuidade em pontos onde f não está definido (ou seja, em \{(x,y)\mid x=-3,\;y\neq0\}).

Passo 4

Resta verificar a continuidade em (-3,0). Sabemos que f(-3,0)=0. Precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(-3,0)}\frac{y^2}{x+3}
existe e é igual a 0.
Pela reta y=k(x+3) temos
\frac{y^2}{x+3} =\frac{k^2(x+3)^2}{x+3} =k^2(x+3)\;\longrightarrow\;0.
Já seguindo a curva y=\sqrt{x+3} (com x>-3) obtemos
\frac{y^2}{x+3} =\frac{x+3}{x+3} =1.
Como surge 0 por uma trajetória e 1 por outra, o limite não existe. Logo f é descontínua em (-3,0).

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos com x+3\neq0 e é descontínua no ponto (-3,0).

Exercícios relacionados