Seja
definida por
. É possível definir
de forma que
seja contínua em
?
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
e pergunta se existe um valor
tal que, definindo
, a nova função seja contínua em todo
. Para isso, precisamos investigar
e ver se esse limite existe e é finito.
Passo 2
Vamos testar o limite ao longo de curvas do tipo
com
fixo. Substituindo em
, obtemos
Quando
, o numerador tende a
e o denominador a
. Logo
que diverge para
se
e para
se
. Ou seja, ao longo dessas curvas
não se aproxima de um valor finito.
Passo 3
Como o valor de
fica arbitrariamente grande (positivo ou negativo) ao nos aproximarmos de
por curvas
, o limite
não existe como número real. Portanto não há como escolher um
que torne
contínua em
.
Resposta
Não é possível definir
de modo a tornar
contínua em
.