Seja f: \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x, y)=\frac{x^{3}+x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}. É possível definir f(0,0) de forma que f seja contínua em \mathbb{R}^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x^{3}+x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}
definida para (x,y)\neq(0,0) e pergunta se existe um valor L tal que, definindo f(0,0)=L, a nova função seja contínua em todo \mathbb{R}^2. Para isso, precisamos investigar
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
e ver se esse limite existe e é finito.

Passo 2

Vamos testar o limite ao longo de curvas do tipo
y = k\,x^{2},
com k\in\mathbb{R} fixo. Substituindo em f, obtemos
f\bigl(x,kx^{2}\bigr) =\frac{x^{3}+x^{2}(k x^{2})}{x^{4}+(k x^{2})^{2}} =\frac{x^{3}(1+kx)}{x^{4}(1+k^{2})} =\frac{1+kx}{(1+k^{2})\,x}.
Quando x\to0, o numerador tende a 1 e o denominador a (1+k^{2})\,x. Logo
f\bigl(x,kx^{2}\bigr)\sim\frac{1}{(1+k^{2})\,x},
que diverge para +\infty se x\to0^{+} e para -\infty se x\to0^{-}. Ou seja, ao longo dessas curvas f não se aproxima de um valor finito.

Passo 3

Como o valor de f(x,y) fica arbitrariamente grande (positivo ou negativo) ao nos aproximarmos de (0,0) por curvas y=kx^{2}, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe como número real. Portanto não há como escolher um L\in\mathbb{R} que torne f contínua em (0,0).

Resposta

Não é possível definir f(0,0) de modo a tornar f contínua em \mathbb{R}^{2}.

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