Estudar a continuidade da função
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & \text { se } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[1em] 1,& (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para estudar sua continuidade. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, isto é, verificar onde vale
\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b).
Precisamos checar (i) pontos fora da origem e (ii) o ponto (0,0).]

Passo 2

Se (x,y)\neq(0,0), então x^{2}+y^{2}\neq0 e tanto o numerador x^{2}\operatorname{sen}(x^{2}+y^{2}) quanto o denominador x^{2}+y^{2} são funções contínuas. A razão de duas funções contínuas com denominador não nulo é contínua. Logo f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Para testar a continuidade em (0,0), calculamos
L=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}.
Usamos as desigualdades
0\le \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le1 \quad\text{e}\quad \bigl|\operatorname{sen}(x^{2}+y^{2})\bigr|\le \bigl|x^{2}+y^{2}\bigr|.
Portanto,
\biggl|\frac{x^{2}\operatorname{sen}(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\biggr| \le \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\;\bigl|x^{2}+y^{2}\bigr| \le \bigl|x^{2}+y^{2}\bigr| \to0 \quad\text{quando }(x,y)\to(0,0).
Isto mostra que L=0.

Passo 4

Como L=0 e f(0,0)=1, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\neq f(0,0),
logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

f é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} e descontínua em (0,0).

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