Estudar a continuidade da função
f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x z-y^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} & \text { se } & (x, y, z) \neq(0,0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)= \begin{cases} \dfrac{xz - y^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},& (x,y,z)\neq(0,0,0),\\[6pt] 0,&(x,y,z)=(0,0,0), \end{cases}
e pede para estudar a continuidade de f. O conteúdo envolve continuidade de funções de várias variáveis e análise de limites em pontos críticos, em especial em (0,0,0).]

Passo 2

Para (x,y,z)\neq(0,0,0) temos denominar \neq0, logo \frac{xz-y^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é quociente de polinômios com denominador não nulo. Assim, f é contínua em todo ponto (x,y,z)\neq(0,0,0).

Passo 3

Analisemos o ponto (0,0,0). Se existir \displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}f(x,y,z), esse limite teria que ser 0 para coincidir com f(0,0,0)=0. Vamos ver que há caminhos com limites diferentes.
Peguemos a reta definida por
x=z=t,\quad y=0.
Então, para t\neq0,
f(t,0,t) =\frac{t\cdot t - 0^{2}}{t^{2}+0^{2}+t^{2}} =\frac{t^{2}}{2t^{2}} =\frac12.
Logo
\lim_{t\to0}f(t,0,t)=\frac12.

Passo 4

Agora escolhemos outro caminho, por exemplo
x=0,\quad y=t,\quad z=0.
Então
f(0,t,0) =\frac{0\cdot0 - t^{2}}{0^{2}+t^{2}+0^{2}} =-1,
e
\lim_{t\to0}f(0,t,0)=-1.

Passo 5

Como os limites ao longo de (t,0,t) e (0,t,0) são \tfrac12 e -1, distintos entre si (e diferentes de 0), o limite geral em (0,0,0) não existe. Portanto, f é descontínua em (0,0,0).

Resposta

A função f é contínua em \mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,0)\} e descontínua em (0,0,0).

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