Resolva n equação diferencial \left(x^{2}+y x\right) d x+3 x^{2} d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(x^{2}+yx\bigr)\,dx + 3x^{2}\,dy = 0.
Esse é um caso de equação de primeira ordem que, ao ser escrita em forma dy/dx, se mostra linear em y. Vamos usar o método de equação linear em y(x), encontrando fator integrante e integrando.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita de derivada, temos
(x^{2}+yx) + 3x^{2}\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{2}+yx}{3x^{2}} = -\frac{1}{3} - \frac{y}{3x}.
Portanto a equação assume a forma
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{3x}\,y = -\frac{1}{3},
que é uma equação linear em y.

Passo 3

Para resolver a equação linear
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
com P(x)=\tfrac{1}{3x}, Q(x)=-\tfrac{1}{3}, calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\displaystyle\int P(x)\,dx} = e^{\displaystyle\int \frac{1}{3x}\,dx} = e^{\frac{1}{3}\ln|x|} =|x|^{1/3}.
Para x>0 podemos usar \mu(x)=x^{1/3}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x^{1/3}, obtendo
x^{1/3}\frac{dy}{dx} + \frac{1}{3}x^{-2/3}y = -\frac{1}{3}x^{1/3}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)\,y:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/3}y\bigr) = -\frac{1}{3}x^{1/3}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int d\bigl(x^{1/3}y\bigr) = \int -\frac{1}{3}x^{1/3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{1/3}y = -\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{4/3}}{\tfrac{4}{3}} + C = -\frac{1}{4}x^{4/3} + C.

Passo 5

Isolando y, dividimos por x^{1/3}:
y = -\frac{1}{4}x^{4/3 - 1/3} + C\,x^{-1/3} = -\frac{x}{4} + C\,x^{-1/3}.

Resposta

A solução geral da equação é
\boxed{y = -\frac{x}{4} + C\,x^{-1/3},}
onde C é a constante de integração.

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