3- Utilizando a Regra de Cramer, determine o conjunto solução do sistema a seguir:
\left\{\begin{array}{c} x+2 y+z=12 \\\\ 2 x+3 y-z=6 \\\\ 3 x+y+2 z=16 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear \r
\begin{cases} x + 2y + z = 12,\\\\ 2x + 3y - z = 6,\\\\ 3x + y + 2z = 16, \end{cases}\r
e pede o conjunto-solução usando a regra de Cramer. Precisamos calcular determinantes 3\times 3: D da matriz de coeficientes, D_x, D_y e D_z trocando cada coluna pelos termos independentes.

Passo 2

Calcular D, o determinante da matriz de coeficientes: \r
D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 2 & 3 & -1\\\\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}.\r
Expandindo pela primeira linha: \r
D = 1\cdot(3\cdot2 -(-1)\cdot1)\;-\;2\cdot(2\cdot2 -(-1)\cdot3)\;+\;1\cdot(2\cdot1 -3\cdot3).
D = 1\cdot7 \;-\;2\cdot7 \;+\;1\cdot(-7) \;=\;7-14-7 \;=\;-14.

Passo 3

Calcular D_x substituindo a primeira coluna pelos termos independentes: \r
D_x = \begin{vmatrix} 12 & 2 & 1\\\\ 6 & 3 & -1\\\\ 16 & 1 & 2 \end{vmatrix}.
D_x = 12\cdot(3\cdot2 -(-1)\cdot1)\;-\;2\cdot(6\cdot2 -(-1)\cdot16)\;+\;1\cdot(6\cdot1 -3\cdot16).
D_x = 12\cdot7 \;-\;2\cdot28 \;+\;1\cdot(-42) \;=\;84-56-42 \;=\;-14.

Passo 4

Calcular D_y substituindo a segunda coluna: \r
D_y = \begin{vmatrix} 1 & 12 & 1\\\\ 2 & 6 & -1\\\\ 3 & 16 & 2 \end{vmatrix}.
D_y = 1\cdot(6\cdot2 -(-1)\cdot16)\;-\;12\cdot(2\cdot2 -(-1)\cdot3)\;+\;1\cdot(2\cdot16 -6\cdot3).
D_y = 1\cdot28 \;-\;12\cdot7 \;+\;1\cdot14 \;=\;28-84+14 \;=\;-42.

Passo 5

Calcular D_z substituindo a terceira coluna: \r
D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 12\\\\ 2 & 3 & 6\\\\ 3 & 1 & 16 \end{vmatrix}.
D_z = 1\cdot(3\cdot16 -6\cdot1)\;-\;2\cdot(2\cdot16 -6\cdot3)\;+\;12\cdot(2\cdot1 -3\cdot3).
D_z = 1\cdot42 \;-\;2\cdot14 \;+\;12\cdot(-7) \;=\;42-28-84 \;=\;-70.

Passo 6

Pela regra de Cramer:\r
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-14}{-14} = 1,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-42}{-14} = 3,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-70}{-14} = 5.

Resposta

O conjunto-solução do sistema é \{(1,3,5)\}.

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