4- Utilizando o método do escalonamento, determine o conjunto solução do sistema a seguir:
\left\{\begin{array}{c} x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+y+z=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de três equações e três incógnitas. Precisamos usar o método de escalonamento (eliminação de Gauss) para encontrar o conjunto solução.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\\\ 2 & -1 & 1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]

Passo 3

Aplicamos as operações de linha
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1, \quad L_3 \leftarrow L_3 - L_1
para eliminar x das linhas 2 e 3. O sistema escalonado fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\\\ 0 & -5 & 3 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2 & 4 \end{array}\right]

Passo 4

Para eliminar y da terceira linha usamos
L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac{1}{5}L_2.
Isso gera
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\\\ 0 & -5 & 3 & -1 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{7}{5} & \tfrac{21}{5} \end{array}\right]

Passo 5

Agora resolvemos por retro-substituição.
Da terceira linha:
\tfrac{7}{5}z = \tfrac{21}{5} \quad\Longrightarrow\quad z = 3.
Substituindo na segunda linha:
-5y + 3\cdot 3 = -1 \quad\Longrightarrow\quad -5y + 9 = -1 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
Finalmente, na primeira linha:
x + 2\cdot2 - 3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x + 1 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Resposta

O conjunto solução é \{(1,2,3)\}.

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