Estudar a continuidade das seguintes funções no ponto a indicado:
(b) $a=0, f(x)=\left{ \begin{array}{l}x^{2} \cos \frac{1}{x} \text { se } x \neq 0 \\ 0 \text { se } x=0\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\begin{cases} x^{2}\cos\!\displaystyle\frac{1}{x}, & \text{se } x\neq 0,\\[4pt] 0, & \text{se } x=0, \end{cases}
e pede para estudar a continuidade no ponto a=0.
Informações relevantes dadas:
  • O valor da função no ponto é f(0)=0.
  • Para x\neq 0, o valor é f(x)=x^{2}\cos\!\dfrac{1}{x}.
  • A pergunta é: a função é contínua em 0? (ou seja, o limite quando x\to 0 de f(x) existe e é igual a f(0)?)]

Passo 2

Relembrando o que significa continuidade no ponto 0 de modo bem prático e sem formalismo assustador:
  • A função f é contínua em 0 se e somente se \lim_{x\to 0} f(x) existe e
\lim_{x\to 0} f(x)=f(0).
Aqui já sabemos f(0)=0. Então precisamos mostrar que \lim_{x\to 0} x^{2}\cos\!\dfrac{1}{x}=0.

Passo 3

Observação útil sobre o fator trigonométrico (fato simples mas poderoso):
-1\le \cos t \le 1\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
Tomando t=\dfrac{1}{x} (quando x\neq 0) obtemos
-1\le \cos\!\dfrac{1}{x}\le 1.
Multiplicando essa desigualdade por x^{2} (que é sempre não negativo) dá, para x\neq 0,
- x^{2} \le x^{2}\cos\!\dfrac{1}{x} \le x^{2}.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Primeiro calcule os limites das funções que “esmagam” x^{2}\cos\!\dfrac{1}{x}:
\lim_{x\to 0} (-x^{2}) = 0,\qquad \lim_{x\to 0} x^{2}=0.
Como para x\neq 0 temos -x^{2}\le x^{2}\cos\!\dfrac{1}{x}\le x^{2} e os extremos tendem para o mesmo valor 0, o Teorema do Confronto implica
\lim_{x\to 0} x^{2}\cos\!\dfrac{1}{x}=0.

Passo 5

Interpretando o que obtivemos: o limite bilateral de f(x) quando x\to 0 é 0, e como f(0)=0, concluímos que o limite coincide com o valor da função no ponto. Portanto f é contínua em 0.

Passo 6

Para deixar ainda mais claro como demonstrar isso de forma \varepsilon- \delta (útil na prova), aqui vai um argumento direto e curtinho que dá controle preciso:
seja \varepsilon>0. Tome \delta=\sqrt{\varepsilon} (uma escolha natural aqui). Se |x-0|<\delta então |x|<\delta e
\bigl|f(x)-f(0)\bigr|=\bigl|x^{2}\cos\!\dfrac{1}{x}-0\bigr|=\bigl|x^{2}\cos\!\dfrac{1}{x}\bigr|\le |x|^{2}<\delta^{2}=\varepsilon.
Isso mostra exatamente, pelo critério \varepsilon- \delta, que \lim_{x\to 0} f(x)=0. Portanto f é contínua em 0.

Resposta

f é contínua em 0.

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