Estudar a continuidade das seguintes funções no ponto a indicado:
(b) $a=0, f(x)=\left{\begin{array}{l}x^{2} \cos \frac{1}{x} \text { se } x \neq 0 \\ 0 \text { se } x=0\end{array}\right.)
Como para x\neq 0 temos -x^{2}\le x^{2}\cos\!\dfrac{1}{x}\le x^{2} e os extremos tendem para o mesmo valor 0, o Teorema do Confronto implica
\lim_{x\to 0} x^{2}\cos\!\dfrac{1}{x}=0.
Passo 5
Interpretando o que obtivemos: o limite bilateral de f(x) quando x\to 0 é 0, e como f(0)=0, concluímos que o limite coincide com o valor da função no ponto. Portanto f é contínua em 0.
Passo 6
Para deixar ainda mais claro como demonstrar isso de forma \varepsilon-\delta (útil na prova), aqui vai um argumento direto e curtinho que dá controle preciso:
seja \varepsilon>0. Tome \delta=\sqrt{\varepsilon} (uma escolha natural aqui). Se |x-0|<\delta então |x|<\delta e