O enunciado pede para estudar a convergência da série alternada . O conteúdo envolve teste de convergência absoluta (comparação e teste da integral). Vamos precisar mostrar que os termos têm soma de valores absolutos finita.
Passo 2
Analisamos o termo geral em valor absoluto: Note que arctan(n^1/n)toarctan(1)=pi/4, então para todo n>=3 temos arctan(n^1/n)<=pi/2. Assim,
para n>=3 vale e^raizn-arctan(n^1/n)>= e^raizn-pi2>=12e^raizn, pois e^raizn cresce rápido e para n>=3 tem e^raizn>=pi. Logo
an<=1tfrac12e^raizn=2e^-raizn
Passo 3
Agora usamos o teste da integral para sumn=3^infty e^-raizn. Considere a função f(x)=e^-raizx, que para x>=3 é positiva e decrescente. Fazendo a troca de variável u=raizx, x=u^2, dx=2u,du, temos
integral3^inftye^-raizx,dx=integralraiz3^inftye^-ucdot2u,du,
que converge porque integralraiz3^inftyu e^-u,du é finita. Portanto sumn=3^infty e^-raizn converge e, por comparação, sumn=3^infty an também converge.
Passo 4
Como sum|(-1)^n/(e^raizn-arctan(n^1/n))|=sum an converge, a série original é absolutamente convergente e, portanto, converge.