Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais indicadas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' - 6y = 10e^2x
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. O conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem: vamos obter primeiro a solução homogênea, depois uma solução particular e enfim usar as condições iniciais.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, consideramos a equação associada sem o termo forçado:
y'' + 5y' - 6y = 0
Substituindo y=e^rx obtemos a equação característica
r^2 + 5r - 6 = 0
Resolvendo, fatoramos ou usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -5 pm raiz5^2 - 4cdot1cdot(-6)2 = -5 pm raiz25 + 242 = -5 pm 72,
logo r1 = 1 e r2 = -6. Assim a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^-6x

Passo 3

Para a solução particular yp, notamos que o termo forçado é 10e^2x. Então chutamos uma forma do tipo
yp(x) = A e^2x
Calculamos derivadas:
yp' = 2A e^2x,
yp'' = 4A e^2x
Substituindo na equação original:
(4A) e^2x + 5(2A) e^2x - 6(A) e^2x = 10 e^2x,
isto é
(4A + 10A - 6A)e^2x = 10e^2x ,Rightarrow, 8A = 10 ,Rightarrow, A = 108 = 54
Logo
yp(x) = 54 e^2x

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2 e^-6x + 54e^2x

Passo 5

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(x). Derivando:
y'(x) = C1 e^x -6 C2 e^-6x + 54cdot2 e^2x = C1 e^x -6 C2 e^-6x + 52e^2x

Passo 6

Agora impomos y(0)=1 e y'(0)=1. Em x=0:
y(0)=C1 + C2 + 54 = 1 Rightarrow C1 + C2 = 1 - 54 = -14,
y'(0)=C1 -6C2 + 52 = 1 Rightarrow C1 -6C2 = 1 - 52 = -32
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = -tfrac14 C1 -6C2 = -tfrac32
subtraindo a primeira da segunda dá -7C2 = -tfrac54, logo C2 = tfrac528. Então C1 = -tfrac14 - tfrac528 = -tfrac37.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = -37e^x + 528e^-6x + 54e^2x

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