Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
. O conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem: vamos obter primeiro a solução homogênea, depois uma solução particular e enfim usar as condições iniciais.
Passo 2
Para achar a solução homogênea, consideramos a equação associada sem o termo forçado:
Substituindo
obtemos a equação característica
Resolvendo, fatoramos ou usamos a fórmula de Bhaskara:
logo
e
. Assim a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular
, notamos que o termo forçado é
. Então chutamos uma forma do tipo
Calculamos derivadas:
Substituindo na equação original:
isto é
Logo
Passo 4
A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular:
Passo 5
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de
. Derivando:
Passo 6
Agora impomos
e
. Em
:
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira da segunda dá
, logo
. Então
.
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é