Estudar a convergência das séries seguintes
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Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty lnl(e^nsintfrac1n+tfracn^3+raiz nln(n+2)+e^nr). O assunto é teste de convergência de séries e, em particular, o requisito de que o termo geral deve tender a zero para que a série tenha chance de convergir.

Passo 2

Para analisar o termo geral quando ntoinfty, observe que nsintfrac1n=1-tfrac16n^2+O(tfrac1n^4). Logo, em bloco:
e^nsin(1/n)=e^1-16n^2+O(1n^4)=el(1-16n^2+O(tfrac1n^4)r)
Além disso, o segundo termo
n^3+raiz nln(n+2)+e^n
decai exponencialmente, pois o denominador e^n cresce muito mais rápido, daí essa parcela é O(n^3e^-n) e é negligenciável.

Passo 3

Com isso, o termo geral da série é
an=lnl(e(1-tfrac16n^2+O(tfrac1n^4))r)=1+lnl(1-tfrac16n^2+O(tfrac1n^4)r)=1-tfrac16n^2+O(tfrac1n^4)
Em particular, anto1neq0. Pelo teste da divergência (condição necessária), a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral an tende a 1 e não a zero.

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