Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais indicadas.

Passo 1

A gente tem a EDO linear de terceira ordem não homogênea
Conteúdo: equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados
O que precisamos: resolver a homogênea, achar soluções particulares para cada termo do lado direito e ajustar as constantes pelas condições iniciais

Passo 2

Equação homogênea associada:
y''' - 2y'' + y' = 0
Característica:
r^3 - 2r^2 + r = r(r^2 - 2r +1) = r(r-1)^2 = 0
Então as raízes são r=0 e r=1 (multiplicidade 2). Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 + C2 e^x + C3 x e^x

Passo 3

Para o termo x e^x usamos palpite do tipo (ax+b)x^2e^x=(ax^3+bx^2)e^x (multiplicidade 2 do r=1). Seja
yp1=(a x^3 + b x^2)e^x
Calculando as derivadas e substituindo em y'''-2y''+y' nota-se que sobra
(6ax+6a+2b)e^x = x e^x
Igualando coeficientes: 6a=1 e 6a+2b=0 a=1/6, b=-1/2. Então
yp1=igl(tfrac16x^3 - tfrac12 x^2r)e^x 

Passo 4

Para o termo constante 5 o palpite é yp2=Ax. Aí
y'p2=A, y''p2=0, y'''p2=0
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y'''p2-2y''p2+y'p2=A=5
daí A=5 e
yp2=5x

Passo 5

A solução geral fica
y = yh + yp1 + yp2 = C1 + C2 e^x + C3 x e^x + l(tfrac16x^3 - tfrac12 x^2r)e^x + 5x
Agora calculamos y'(0)=2 e y''(0)=-1 junto com y(0)=2 para achar C1,C2,C3. Faço o sistema e encontro
C1=8, C2=-6, C3=3.

Resposta

y(x)=8 +5x + e^xl(-6 +3x -tfrac12x^2 +tfrac16x^3r)

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