Estudar a convergencia das séries de termos gerais

Passo 1

O enunciado define a sequência de termos gerais un=l(1-1n^2r)^n. O conteúdo é convergência de sequência real, e vamos precisar usar limites e o fato de que ln(1+x) admite expansão para x pequeno.

Passo 2

Para descobrir o limite de un, primeiro tomamos o logaritmo natural: definimos vn=ln(un)=nlnl(1-tfrac1n^2r). A ideia é achar limntoinftyvn e depois voltar exponenciando.

Passo 3

Como tfrac1n^2 é pequeno para n grande, usamos a expansão em série de Taylor de ln(1-x) para x=1/n^2:
$$\ln\Bigl(1-\frac{1}{n^2}\Bigr) = -\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} + o\Bigl(\frac{1}{n^4}\Bigr).
$$

Passo 4

Multiplicando por n, obtemos
vn = nlnl(1-1n^2r) = -1n - 12n^3 + ol(1n^3r)

Passo 5

À medida que ntoinfty, os termos -1/n e -1/(2n^3) vão para zero, então
$$\lim_{n\to\infty}v_n = 0.
$$

Passo 6

Voltando ao termo original, un=exp(vn), e como a exponencial é contínua, segue que
$$\lim_{n\to\infty}u_n = \exp\bigl(\lim_{n\to\infty}v_n\bigr) = \exp(0) = 1.
$$

Resposta

A sequência un=l(1-tfrac1n^2r)^n converge, e seu limite é 1.

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