Estudar a convergencia das séries de termos gerais
Passo 1
O enunciado define a sequência de termos gerais
. O conteúdo é convergência de sequência real, e vamos precisar usar limites e o fato de que
admite expansão para
pequeno.
Passo 2
Para descobrir o limite de
, primeiro tomamos o logaritmo natural: definimos
. A ideia é achar
e depois voltar exponenciando.
Passo 3
Como
é pequeno para
grande, usamos a expansão em série de Taylor de
para
:
$$\ln\Bigl(1-\frac{1}{n^2}\Bigr) = -\frac{1}{n^2} - \frac{1}{2n^4} + o\Bigl(\frac{1}{n^4}\Bigr).
$$
Passo 4
Multiplicando por
, obtemos
Passo 5
À medida que
, os termos
e
vão para zero, então
$$\lim_{n\to\infty}v_n = 0.
$$
Passo 6
Voltando ao termo original,
, e como a exponencial é contínua, segue que
$$\lim_{n\to\infty}u_n = \exp\bigl(\lim_{n\to\infty}v_n\bigr) = \exp(0) = 1.
$$
Resposta
A sequência
converge, e seu limite é 1.