Estudar a convergencia das séries de termos gerais
un=2^n+9993^n+4

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência de termos gerais un = 2^n + 9993^n + 4. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência, monotonicidade e limites usando dominância de exponenciais.

Passo 2

Para calcular o limite de un quando n to infty, note que em valores grandes de n o termo dominante no numerador é 2^n e no denominador é 3^n. Assim,
limntoinfty un = limntoinfty 2^n + 9993^n + 4 = limntoinfty 2^n3^n = limntoinfty l(23r)^n = 0

Passo 3

Agora vamos mostrar que un é decrescente. Queremos verificar que un+1 < un. Como denominadores são positivos, comparamos diretamente:
2^n+1 + 9993^n+1 + 4 < 2^n + 9993^n + 4 iff (2^n+1+999)(3^n+4) < (2^n+999)(3^n+1+4)

Passo 4

Expanda e simplifique a diferença entre o lado direito e o esquerdo, obtendo
3cdot6^n +4cdot2^n +999cdot3^n+1 -l(2cdot6^n +8cdot2^n +999cdot3^nr) =6^n -4,2^n +1998,3^n >0 para todo n>=1, pois os termos positivos dominam. Logo un+1, isto é, a sequência é decrescente.

Passo 5

Finalmente, para ser convergente, a sequência precisa ser limitada. Como 2^n+999>0 e 3^n+4>0, temos un>0. Além disso, u1=1001/7 é o seu maior valor, então 0 < un <= u1.

Passo 6

Uma sequência monótona (decrescente) e limitada (abaixo e acima) é convergente, e já achamos seu limite, por fim, concluímos o estudo de convergência.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyun = 0.

Exercícios relacionados