Estudar a convergencia das séries de termos gerais
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência de termos gerais
. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência, monotonicidade e limites usando dominância de exponenciais.
Passo 2
Para calcular o limite de
quando
, note que em valores grandes de
o termo dominante no numerador é
e no denominador é
. Assim,
Passo 3
Agora vamos mostrar que
é decrescente. Queremos verificar que
. Como denominadores são positivos, comparamos diretamente:
Passo 4
Expanda e simplifique a diferença entre o lado direito e o esquerdo, obtendo
Passo 5
Finalmente, para ser convergente, a sequência precisa ser limitada. Como
e
, temos
. Além disso,
é o seu maior valor, então
.
Passo 6
Uma sequência monótona (decrescente) e limitada (abaixo e acima) é convergente, e já achamos seu limite, por fim, concluímos o estudo de convergência.
Resposta
A sequência converge e
.