Estudar a convergencia das séries de termos gerais
un=e^-n

Passo 1

Estamos estudando a convergência da série sumn=1^inftyun com un=e^-n. O conteúdo envolve séries numéricas, especificamente séries geométricas, e vamos precisar do conceito de razão comum e dos testes da razão e da raiz.

Passo 2

A sequência un=e^-n define uma série geométrica de razão r=e^-1. A condição de convergência de uma série geométrica sum r^n é |r|<1.

Passo 3

Como |r|=e^-1<1, concluímos que a série converge absolutamente. Podemos também usar o teste da raiz:
limntoinfty raiz[n]un = limntoinfty (e^-n)^1/n = e^-1 < 1

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma de uma série geométrica, obtemos:
sumn=1^infty e^-n = e^-11 - e^-1 = 1e - 1

Resposta

A série converge e sua soma é 1e-1.

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