Estudar a convergencia das séries de termos gerais
un=2 n-1n^3-4 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série numérica de termos gerais un=2n-1n^3-4n. Estamos em uma seção de séries de termos positivos e vamos usar o teste da comparação (ou comparação de limite) com séries do tipo sum 1/n^p.

Passo 2

Primeiro, note que o termo un só está bem definido e positivo para n>=3, pois para n=2 o denominador anula. Logo, consideramos a série sumn=3^infty un com un>0.

Passo 3

Para ver o comportamento de un quando ntoinfty, fazemos a comparação de limite com 1/n^2:
limntoinftyun1/n^2=limntoinfty(2n-1)/(n^3-4n)1/n^2=limntoinfty(2n-1)n^2n^3-4n=limntoinfty2n^3-n^2n^3-4n=2

Passo 4

Como o limite é um número finito e positivo (igual a 2), a série sum un tem o mesmo comportamento de convergência de sum1/n^2. Sabemos que sum1/n^2 é uma série p com p=2>1, portanto convergente. Assim, por comparação de limite, sumn=3^infty un também converge.

Resposta

A série sumn=3^infty2n-1n^3-4n converge (convergência absoluta).

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