Estudar a convergência das séries de termos gerais
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Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série ∑u_n em que
u_n = arctan .
Esse é um problema de séries numéricas e vamos usar o teste do termo geral: se lim_{n→∞} u_n ≠ 0, a série diverge.
u_n = arctan
Esse é um problema de séries numéricas e vamos usar o teste do termo geral: se lim_{n→∞} u_n ≠ 0, a série diverge.
Passo 2
Para aplicar o teste, primeiro calculamos o comportamento do quociente dentro do arctan quando n→∞. Observamos que
Para grandes n, 3/n^2 e 1/n^{5/2} tendem a zero, assim como (\ln(n))/n e 3/n^2 no denominador, logo esse quociente cresce como n.
Para grandes n, 3/n^2 e 1/n^{5/2} tendem a zero, assim como (\ln(n))/n e 3/n^2 no denominador, logo esse quociente cresce como n.
Passo 3
Em seguida, como arctan(x)→π/2 quando x→+∞, temos
Passo 4
Como o limite do termo geral não é zero (
), a série ∑u_n diverge pelo teste do termo geral.
Resposta
A série diverge, pois
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