Estudar a convergência das séries de termos gerais
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Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série ∑u_n em que
u_n = arctan 2n^3 + 3n + raizn2n^2 + nln(n) + 3.
Esse é um problema de séries numéricas e vamos usar o teste do termo geral: se lim_{n→∞} u_n ≠ 0, a série diverge.

Passo 2

Para aplicar o teste, primeiro calculamos o comportamento do quociente dentro do arctan quando n→∞. Observamos que

Para grandes n, 3/n^2 e 1/n^{5/2} tendem a zero, assim como (\ln(n))/n e 3/n^2 no denominador, logo esse quociente cresce como n.

Passo 3

Em seguida, como arctan(x)→π/2 quando x→+∞, temos

Passo 4

Como o limite do termo geral não é zero ( limntoinfty un = π/2 ≠ 0), a série ∑u_n diverge pelo teste do termo geral.

Resposta

A série diverge, pois limntoinftyun = π/2 ≠ 0.

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