Usando o teste da razão, estudar a convergência da série .

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão para estudar a convergência da série sumn=1^infty raizn!,sin(1)sinl(1/2r)cdotssinl(1/nr). O conteúdo principal é a aplicação do teste da razão, para o qual vamos precisar definir o termo geral an e calcular limntoinftyan+1an.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
an = raizn!,prodk=1^nsinl(tfrac1kr)

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = raiz(n+1)!,prodk=1^n+1sinl(tfrac1kr)raizn!,prodk=1^nsinl(tfrac1kr) = raizn+1;sinl(tfrac1n+1r)

Passo 4

Para avaliar o limite dessa razão, usamos a aproximação de série de Taylor para xto0: sin xsim x. Como 1/(n+1)to0 quando ntoinfty, temos
an+1an = raizn+1,sinl(tfrac1n+1r) sim raizn+1cdottfrac1n+1 = 1raizn+1 to 0

Passo 5

O limite da razão é 0<1, portanto pelo teste da razão a série converge absolutamente, e assim converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é zero (<1).

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