Estudar a convergência das séries de termos gerais
un=(-1)^nn^1 / n+ln (n+1).

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty un com un=(-1)^nn^1/n+ln(n+1)
Aqui o conteúdo envolve séries alternadas e testes de convergência (absoluta e condicional). Vamos usar o teste da série alternada (critérios de Leibniz) e comparar para verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, verificamos se o termo geral un tende a zero, condição necessária para qualquer convergência. Note que
n^1/nto1eln(n+1)toinfty(quando ntoinfty),
de modo que
n^1/n+ln(n+1)toinfty
e, portanto,
un=(-1)^nn^1/n+ln(n+1)to0

Passo 3

Agora, testamos a convergência absoluta. Consideramos
sumn=1^infty|un|=sumn=1^infty1n^1/n+ln(n+1)
Para n grande temos n^1/napprox1, então
1n^1/n+ln(n+1)sim11+ln nsim1ln n
Sabemos que sum1/ln n diverge (comparação com o integral integral dx/ln x que dá o logaritmo integral divergente). Logo sum|un| diverge e não há convergência absoluta.

Passo 4

Por fim, aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Definimos
bn=1n^1/n+ln(n+1),
já vimos que bnto0. Falta mostrar que bn é monótono decrescente para n grande. Como ln(n+1) cresce e n^1/n decresce a partir de n=3, o denominador n^1/n+ln(n+1) é crescente, logo bn decresce para n>=3. Assim, todos os requisitos do critério de Leibniz estão satisfeitos e a série alternada converge.

Resposta

A série converge condicionalmente: não é absolutamente convergente, mas converge pelo critério de Leibniz.

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