Estudar a convergência das séries de termos gerais
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Aqui o conteúdo envolve séries alternadas e testes de convergência (absoluta e condicional). Vamos usar o teste da série alternada (critérios de Leibniz) e comparar para verificar a convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, verificamos se o termo geral
tende a zero, condição necessária para qualquer convergência. Note que
de modo que
e, portanto,
Passo 3
Agora, testamos a convergência absoluta. Consideramos
Para
grande temos
, então
Sabemos que
diverge (comparação com o integral
que dá o logaritmo integral divergente). Logo
diverge e não há convergência absoluta.
Passo 4
Por fim, aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas. Definimos
já vimos que
. Falta mostrar que
é monótono decrescente para
grande. Como
cresce e
decresce a partir de
, o denominador
é crescente, logo
decresce para
. Assim, todos os requisitos do critério de Leibniz estão satisfeitos e a série alternada converge.
Resposta
A série converge condicionalmente: não é absolutamente convergente, mas converge pelo critério de Leibniz.