lim z e^i pi / 4(z+1z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite complexo limzto e^ipi/4l(z+1zr). O conteúdo envolve limite de função complexa e a propriedade de continuidade de funções holomorfas.

Passo 2

Observamos que a função f(z)=z+1z é holomorfa em todo Csetminus0. Como o ponto de interesse e^ipi/4 não é zero, podemos usar a continuidade de f para trocar limite por avaliação direta.

Passo 3

Aplicando a continuidade, temos limzto e^ipi/4l(z+tfrac1zr)=e^ipi/4+tfrac1e^ipi/4.
Calculamos tfrac1e^ipi/4=e^-ipi/4, então a soma fica e^ipi/4+e^-ipi/4.

Passo 4

Usando a identidade de Euler para cosseno, e^itheta+e^-itheta=2costheta, obtemos e^ipi/4+e^-ipi/4=2cos(tfracpi4)=2cdottfracraiz22=raiz2.

Resposta

raiz2

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