Estudar a convergencia das séries de termos gerais
un=n!n^n

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty un com termo geral un = n!n^n. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, e vamos usar o teste da razão de D’Alembert.

Passo 2

Antes de mais nada, verificamos a condição necessária para convergência de uma série: o termo geral deve tender a zero. Calculamos:
limntoinfty un = limntoinfty n!n^n
Como para todo n vale n!, logo unto0.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão de D’Alembert. Calculamos a razão entre termos consecutivos:
un+1un = (n+1)!(n+1)^n+1n!n^n = (n+1),n^n(n+1)^n+1 = l(nn+1r)^n

Passo 4

Precisamos do limite dessa razão:
limntoinfty l(nn+1r)^n = limntoinfty l(1-1n+1r)^n = e^-1<1

Passo 5

Como o limite da razão é menor que 1, pelo teste da razão a série sum un converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty n!n^n converge absolutamente.

Exercícios relacionados