Estudar a convergencia das séries de termos gerais
un=(n+1) 3^-n

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar a série sumn=0^infty un com termo geral un=(n+1)3^-n. O conteúdo envolve séries numéricas, e para verificar a convergência vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, calculamos
L = limntoinfty |un+1un|
Como
un+1 = (n+2)3^-(n+1), un = (n+1)3^-n,
temos
L = limntoinfty (n+2)3^-(n+1)(n+1)3^-n = limntoinfty n+2n+1cdot13 = 13

Passo 3

Como L=1/3<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Lembre que quando o teste da razão dá um valor menor que 1, a série de termos positivos converge.

Passo 4

Para completar, podemos até calcular a soma. Usamos a série geométrica e suas derivadas:
sumn=0^infty x^n = 11-x, sumn=0^infty nx^n = x(1-x)^2,
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sumn=0^infty (n+1)x^n = 1(1-x)^2
Substituindo x=1/3 obtemos
sumn=0^infty (n+1)3^-n = 1(1-1/3)^2 = 1(2/3)^2 = 94

Resposta

A série converge absolutamente (pelo teste da razão) e sua soma vale 9/4.

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