Estudar a convergencia das séries de termos gerais
un=n+3n^4+n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos un=n+3n^4+n^2+1. O conteúdo é convergência de séries pelo teste de comparação e pelo teste da série-p ( sum1/n^p). Vamos usar o comportamento assintótico do termo geral e o teste da comparação de limites.

Passo 2

Para grandes valores de n, o termo un se comporta como
n+3n^4+n^2+1simnn^4=1n^3

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação de limites entre un e 1/n^3. Calculamos
L=limntoinftyun1/n^3=limntoinfty(n+3)n^3n^4+n^2+1 =limntoinftyn^4+3n^3n^4(1+1/n^2+1/n^4)=1

Passo 4

Como 0 e sabemos que sum1/n^3 é convergente (série-p com p=3>1), concluímos que a série dada também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn+3n^4+n^2+1 converge.

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