(a) S, onde x^24+y^29+z^216=1, z >= 0 é a parte do elipsóide , orientada com a normal unitária exterior;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS x,dywed>= dz + y,dzwed>= dx + z,dxwed>= dy(x^2+y^2+z^2)^3/2,
sendo S a metade superior do elipsóide x^2/4 + y^2/9 + z^2/16 =1 com z>=0, orientada pela normal externa. O conteúdo aqui é fluxo de um campo vetorial singular e vamos precisar do Teorema da Divergência em uma superfície fechada.

Passo 2

O integrando x,dywed>= dz + y,dzwed>= dx + z,dxwed>= dy corresponde ao fluxo do campo
F(x,y,z)=(x,y,z)(x^2+y^2+z^2)^3/2
através de S, pois em coordenadas vetoriais Fcdot n,dS = x,dywed>= dz + y,dzwed>= dx + z,dxwed>= dy.

Passo 3

Para aplicar o Teorema da Divergência, fechamos S juntando um disco
D:;z=0,;x^24+y^29<=1
no plano z=0. O conjunto Sigma=Scup D é uma superfície fechada que envolve a região sólida da metade do elipsóide.

Passo 4

Como F é singular apenas na origem, e a divergência de F satisfaz
nablacdot F = 0 (x,y,z)neq(0,0,0),
o fluxo total em Sigma é dado pelo teorema de Gauss no sentido de distribuições, valendo
integral duplaSigmaFcdot n,dS = integral triplaV(nablacdot F),dV = 4pi

Passo 5

Agora calculamos o fluxo sobre o disco D. Nele temos z=0, logo
F(x,y,0)=(x,y,0)(x^2+y^2)^3/2
e a normal externa do sólido aponta para baixo, nD=-k. Assim
Fcdot nD=0
e o fluxo no disco é zero. Portanto
integral duplaSFcdot n,dS + integral duplaDFcdot nD,dS =4pi implies integral duplaSFcdot n,dS=4pi

Resposta

4\pi

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