Seja
a sequência definida por
e
para todo
.
a. Provar que a função
seguinte é crescente :
b. Usando a questão anterior, provar por indução que
é crescente (observação :
.
c. Provar por indução que
para todo
.
d. Provar que
é convergente.
e. Provar que
é positivo e verifica a equação
.
f. Achar
.
a. Provar que a função
c. Provar por indução que
d. Provar que
e. Provar que
f. Achar
Passo 1
O enunciado define a sequência
e
. Precisamos usar cálculo e indução para mostrar que ela é crescente, limitada por 2, logo convergente, e achar seu limite
positivo que satisfaz uma certa equação algébrica.
Passo 2
Queremos mostrar que a função
é crescente em
. Como
é diferenciável, basta calcular
. Temos
Passo 3
Agora usamos indução para provar que
é crescente. Base:
. Passo indutivo: se
, então, como
é crescente,
Passo 4
Agora provamos por indução que
para todo
. Base:
. Passo indutivo: suponha
. Então
Passo 5
Como
é crescente e limitada acima, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas ela converge. Seja
.
Passando ao limite na definição e usando continuidade de
, obtemos
Passando ao limite na definição
Passo 6
Como todos os
são não negativos, o limite
também é
. Da equação quadrática, as raízes são
Resposta
O limite da sequência é
.