Seja u0=0 a sequência definida por un+1=raiz2+un e n in N^* para todo f.
a. Provar que a função f:[0,+infty[ & R x & mapsto raiz2+x seguinte é crescente :
un <= 2
b. Usando a questão anterior, provar por indução que n in N é crescente (observação : L=lim n +infty un.
c. Provar por indução que L^2-L-2=0 para todo L.
d. Provar que é convergente.
e. Provar que é positivo e verifica a equação .
f. Achar .

Passo 1

O enunciado define a sequência u0=0 e un+1=raiz2+un. Precisamos usar cálculo e indução para mostrar que ela é crescente, limitada por 2, logo convergente, e achar seu limite L positivo que satisfaz uma certa equação algébrica.

Passo 2

Queremos mostrar que a função f(x)=raiz2+x é crescente em [0,+infty[. Como f é diferenciável, basta calcular f'(x). Temos
f'(x)=12raiz2+x>0 para todo x>=0. Logo f' é positiva e isso implica que f é crescente.

Passo 3

Agora usamos indução para provar que (un) é crescente. Base: u1=raiz2+u0=raiz2>0=u0. Passo indutivo: se un>un-1, então, como f é crescente,
un+1=f(un)>f(un-1)=un Logo, por indução, un+1>un para todo n, ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Passo 4

Agora provamos por indução que un<=2 para todo n. Base: u0=0<=2. Passo indutivo: suponha un<=2. Então
un+1=raiz2+un<=raiz2+2=2 Assim un<=2 para todo n, ou seja, a sequência é limitada superiormente por 2.

Passo 5

Como (un) é crescente e limitada acima, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas ela converge. Seja L=limntoinftyun.
Passando ao limite na definição un+1=raiz2+un e usando continuidade de f, obtemos
L=raiz2+L Elevando ao quadrado, chegamos à equação
L^2=2+LLongrightarrow L^2-L-2=0

Passo 6

Como todos os un são não negativos, o limite L também é >=0. Da equação quadrática, as raízes são
L=1pmraiz1+82=1pm32, isto é, L=2 ou L=-1. Escolhemos L=2 por ser o único não negativo.

Resposta

O limite da sequência é L=2.

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