Estudar a convergencia das séries de termos gerais
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
com
. O conteúdo é testes de convergência de séries de termos positivos, e vamos precisar do teste da integral.
Passo 2
Verificamos que a função
é positiva, contínua e monotonicamente decrescente para
. Assim, podemos aplicar o teste da integral para concluir sobre a convergência de
.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, calculando
Fazendo a mudança de variável
, temos
e
. Portanto,
Esta é uma integral imprópria do tipo gama incompleta.
Passo 4
Para avaliar
usamos a primitivação por partes ou reconhecimento de forma padrão, obtendo
Assim,
que é finito.
Passo 5
Como a integral
converge, pelo teste da integral a série
também converge.
Resposta
A série
converge.