Estudar a convergencia das séries de termos gerais
un=e^-raizn

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^inftyun com un = e^-raizn. O conteúdo é testes de convergência de séries de termos positivos, e vamos precisar do teste da integral.

Passo 2

Verificamos que a função f(x) = e^-raizx é positiva, contínua e monotonicamente decrescente para x >=1. Assim, podemos aplicar o teste da integral para concluir sobre a convergência de sum un.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, calculando
integral1^inftye^-raizx,dx
Fazendo a mudança de variável t=raizx, temos x=t^2 e dx=2t,dt. Portanto,
integral1^inftye^-raizx,dx = integral1^infty e^-tcdot2t,dt
Esta é uma integral imprópria do tipo gama incompleta.

Passo 4

Para avaliar
integral1^infty2t e^-t,dt,
usamos a primitivação por partes ou reconhecimento de forma padrão, obtendo
integral 2t e^-t,dt = -2te^-t - 2e^-t + C
Assim,
integral1^infty2t e^-t,dt = l[-2te^-t-2e^-tr]1^infty = 0 - l(-4e^-1r) = 4e^-1,
que é finito.

Passo 5

Como a integral integral1^inftye^-raizx,dx converge, pelo teste da integral a série sumn=1^inftye^-raizn também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftye^-raizn converge.

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