lim z 0 z^2+barz^2Re(z)+Im(z)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular limzto 0z^2+bar z^2Re(z)+Im(z). O conteúdo é limite de função de variável complexa e vamos usar representação cartesiana z=x+iy e propriedades de limite.

Passo 2

Representando z=x+iy, temos:
z^2+bar z^2=(x+iy)^2+(x-iy)^2=2(x^2-y^2),
Re(z)+Im(z)=x+y

Passo 3

Portanto a expressão vira
f(x,y)=z^2+bar z^2Re(z)+Im(z)=2(x^2-y^2)x+y

Passo 4

Analisando o limite por retas y=mx com mneq -1, substituímos em f:
f(x,mx)=2l(x^2-(mx)^2r)x+mx=2x^2(1-m^2)x(1+m)=2x1-m^21+m

Passo 5

Como xto0, isso vai para 0 para qualquer mneq-1. Mesmo em caminhos especiais onde x+y tende a zero mais rápido, testa-se e o quociente também tende a zero.

Passo 6

Como o valor do limite é zero em todos os caminhos considerados, concluímos que o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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