Use as regras de diferenciação para calcular f^prime(z) para a função dada.
f(z)=5(i z)^3-10 z^2+3-4 i

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: a função é dada por f(z)=5(i z)^3-10 z^2+3-4 i e queremos calcular f'(z). O que precisamos aqui é usar a regra do poder e a regra da cadeia, tratando i como constante.

Passo 2

Reescrever f(z) em potências de z expandindo (i z)^3. Primeiro,
(i z)^3=i^3cdot z^3=-icdot z^3, então
f(z)=5cdot(i z)^3-10cdot z^2+3-4i=5cdot(-icdot z^3)-10cdot z^2+3-4i=-5icdot z^3-10cdot z^2+3-4i

Passo 3

Aplicar a derivação termo a termo usando a regra do poder ( ddz[z^n]=n z^n-1) e tratar constantes multiplicativas normalmente:
  • Para -5icdot z^3, como -5i é constante,
ddz[-5icdot z^3]=-5icdot3z^2=-15icdot z^2

Passo 4

  • Para -10cdot z^2,
ddz[-10cdot z^2]=-10cdot2z=-20cdot z

Passo 5

  • As constantes 3-4i derivam zero.
    Juntando tudo, obtemos o resultado final para f'(z).

Resposta

f'(z)=-15i,z^2-20z

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