Estudar a derivabilidade em R das seguintes funções :
ll|x| raizx^2-2 x+1x-1 & se x neq 1 1 & se x=1;

Passo 1

O enunciado pede para estudar a derivabilidade em R da função
f(x)= dfrac|x|raizx^2-2x+1x-1,&xneq1, 1,&x=1
O conteúdo envolvido é derivadas de funções definidas por partes, manipulação de valor absoluto e verificação de continuidade e derivabilidade em pontos críticos.

Passo 2

Para xneq1 temos raizx^2-2x+1=raiz(x-1)^2=|x-1|. Logo
f(x)=|x|,|x-1|x-1=|x|,sgn(x-1)

Passo 3

Vamos escrever f(x) em funções lineares em cada intervalo:
  • Se x<0, então |x|=-x e x-1<0 implica sgn(x-1)=-1, logo f(x)=-(-x)=x
  • Se 0<= x<1, então |x|=x e sgn(x-1)=-1, logo f(x)=-x
  • Se x>1, então |x|=x e sgn(x-1)=+1, logo f(x)=x

Passo 4

No ponto x=0:
  • f(0)=0 pela definição.
  • limxto0^-f(x)=limxto0^-x=0 e limxto0^+f(x)=limxto0^+(-x)=0, logo contínua.
  • Mas as derivadas laterais são f'(0^-)=1 e f'(0^+)=-1, distintas. Portanto não é diferenciável em x=0.

Passo 5

No ponto x=1:
  • limxto1^-f(x)=limxto1^-(-x)=-1 e limxto1^+f(x)=limxto1^+x=1. Os limites laterais não coincidem, logo não é nem contínua em x=1, portanto também não é diferenciável.

Passo 6

Concluímos que fora de x=0 e x=1 a função é dada por expressões lineares com coeficiente angular pm1, sendo assim diferenciável em todos os demais pontos.

Resposta

A função é diferenciável em Rsetminus0,1.

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