Estudar a derivabilidade em das seguintes funções : ;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a derivabilidade em da função
O conteúdo envolvido é derivadas de funções definidas por partes, manipulação de valor absoluto e verificação de continuidade e derivabilidade em pontos críticos.
Passo 2
Para xneq1 temos raizx^2-2x+1=raiz(x-1)^2=|x-1|. Logo
f(x)=|x|,|x-1|x-1=|x|,sgn(x-1)
Passo 3
Vamos escrever f(x) em funções lineares em cada intervalo:
Se x<0, então |x|=-x e x-1<0 implica sgn(x-1)=-1, logo f(x)=-(-x)=x
Se 0<= x<1, então |x|=x e sgn(x-1)=-1, logo f(x)=-x
Se x>1, então |x|=x e sgn(x-1)=+1, logo f(x)=x
Passo 4
No ponto x=0:
f(0)=0 pela definição.
limxto0^-f(x)=limxto0^-x=0 e limxto0^+f(x)=limxto0^+(-x)=0, logo contínua.
Mas as derivadas laterais são f'(0^-)=1 e f'(0^+)=-1, distintas. Portanto não é diferenciável em x=0.
Passo 5
No ponto x=1:
limxto1^-f(x)=limxto1^-(-x)=-1 e limxto1^+f(x)=limxto1^+x=1. Os limites laterais não coincidem, logo não é nem contínua em x=1, portanto também não é diferenciável.
Passo 6
Concluímos que fora de x=0 e x=1 a função é dada por expressões lineares com coeficiente angular pm1, sendo assim diferenciável em todos os demais pontos.